作者LuisSantos (^______^)
看板Math
标题Re: [分析] Isolated points
时间Wed Jul 6 19:40:19 2005
※ 引述《hips ()》之铭言:
: 若 S 包含於 R^n
: 证明 S 的 isolated point 所成的集合是可数的.
: 请各位不吝赐教.
设 x 为 S 中任意 isolated point ,则存在 δ(x) > 0 使
B( x ; δ(x) )∩S = {x}
令 x = ( x_1 , ... , x_n ) , 取 x' = ( x'_1 , x'_2 , ... , x'_n ) 使
| x_i - x'_i | < (((δ(x))^2)/n)^(1/2) , 且 x'_i 为有理数
n n
因为 || x - x' ||^2 = Σ | x_i - x'_i |^2 < Σ ((δ(x))^2)/n = (δ(x))^2
k=1 k=1
所以 x' 属於 B( x ; δ(x) )
设 S 中之 isolated point x 与如此取出之 x' 对应则此对应为一对一
因为 x_1≠x_2 , x_1 与 x_2 为 isolated points
=> B( x_1 ; δ(x_1) )∩S = { x_1 } , B( x_2 ; δ(x_2) )∩S = { x_2 }
=> x'_1 不属於 B( x_2 ; δ(x_2) ) , x'_2 不属於 B( x_1 ; δ(x_1) )
=> x'_1≠x'_2
因为有理坐标之点在 R^n 中为可数 , 所以 S 的 isolated point 所成的集合是可数的
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◆ From: 61.66.173.21
1F:推 hips:嗯恩 谢啦.218.167.177.226 07/07