作者yonex (诸法皆空)
看板Math
标题Re: [分析] 初微(5)
时间Mon Jul 4 00:28:29 2005
※ 引述《plover (>//////<)》之铭言：
: 请利用 lim (1+1/n)^n = e, 证明 e 为无理数.
: n->∞
使用归谬证法
假设e为有理数 e可以表达如下
p
e = --- p and q are integer
q
首先 我们已知 2<e<3 (由二项式展开可轻易得证)
因此e绝对不会是整数
q必定至少等於2 依照e的定义二项式展开
p 1 1 1
e=--- = 1+ ---- + ----+ .....+ ----- +.......
q 1! 2! n!
将上式两边同乘q!= 2x3x4x5......xq
exq!=px2x3x4x5x......x(q-1)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^此数明显为整数
1 1
=(q!+q!+ 3x4x....xq + 4x5x.....xq + (q-1)q + q +1)+-----+---------+.....
q+1 (q+1)(q+2)
^^^^^^^^^^^^^^^^
分析这"余项"
以上式的余项来说 因为q>=2
1 1 1 1 1 1 1
----- + ---------- + ........=< --- + ----- +... =< ---+-----+-----...
q+1 (q+1)(q+2) 3 3x4 3 3^2 3^3
1
= ---
2
此余项介於0跟0.5之间 必为小数
推导出 整数 等於 非整数 的荒谬结果
所以e为可比之数假设错误
e为无理数
Q.E.D.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.253.159
1F：推 vata:这样子感觉没有利用到题目所给的定义去证明 219.91.9.223 07/04
2F：推 yonex:不然那个二项式展开怎麽来的...由定义来的呀140.112.253.159 07/04
3F：→ eggsu :那个展开式好像不是二项式展开的结果 04/16 18:04
4F：→ eggsu :而是泰勒展开式的结果……真是太久没有看这些东西 04/16 18:05
5F：→ eggsu :讲得有点心虚……有错还请指正！ 04/16 18:05