※ 引述《Cayley (水色天蓝)》之铭言： : p大要不要顺便分享一轧connect:) : 我记得我们高微课本里好像还有个很有趣的东西 : Baire Category Theorem...@@... : 後来在拓仆课本上它变成了一整个章节... 我觉得还是把基本的东西先补起来会比较好, 原先那篇没有把 closed sets 给讲清楚. Baire category theorem 在拓朴上是重要的结果之一, 但就高微的学习来讲, 这定理似乎没有多大的影响力. 至於 connectness, 这就是重要的东西了! closed sets 有许多的定义方法, 不过最简单的方式应该是: A set S < R^n is called closed if its complement R^n-S is open. 要提醒的一点是: 定义中 if 的意思, 就是 if and only if 的意思. 从定义中, 底下的性质应该是相当的显然, 就好比 injective functions 与 surjective functions 的感觉. 这个性质就是 A set S < R^n is closed if, and only if, it contains all its adherent points. (*) 性质中有讲到 adherent points, 中文叫做附着点, 还有一个东西叫做 accumulation points, 聚点, 这边都是照 Apostol 的讲法, 呵呵, 照书讲会比较快. Rudin 把聚点讲成 limit points, 因为聚点跟 limit 的定义有很大的关系; 至於 Marsden 又换一套说法了, cluster points, Marsden 是一本很奥妙的书, 常把一个简单的定理写的很广, 但用的时候又是用在很简单的情况, Σ的下指标也很杂乱, n, k, i 乱用, 虽然这不影响内涵, 但形式上看起来就很丑, 哈哈又岔题了. Let S < R^n, and x in R^n, x not necessarily in S. Then x is said to be an adherent point of S if every n-ball B(x) contains at least one point of S. Let S < R^n, and x in R^n, x not necessarily in S. Then x is said to be an accumulation point of S if every n-ball B(x) contains at least one point of S distinct from x. 这样有看出两个定义是不一样的吗? 因此 accumulation point 一定是 adherent point, 如果 x 是 adherent point, 并且 x 不在 S, 那麽 x 就是 accumulation point. 如果 x 是 adherent point, 且 x 在 S, 那麽 x 不见得是 accumulation point, 事实上, x in S 已经保证了 x 是 adherent point. 有了刚刚的解释, 上面的 (*) 又可以改成 A set S < R^n is closed if, and only if, it contains all its accumulation points. (**) 知道 (*) 与 (**) 之後, 就可以做很多题目了. 嗯, 有了以上的内容, 就可以理解 Bolzano-Weierstrass theorem 与 Cantor intersection theorem. 还有好多东西 O_o 先讲一点 connectness. connectness 有很多讲法, 不过我比较喜欢开门见山的讲法, Apostol 的讲法虽然也不错, two-valued function, 但不见得大家都知道 (或许只有 Apostol 会讲吧 :) A set S in a metric space X is said to be connected if and only if cannot be represented as the union of two nonempty disjoint sets neither of which contains an accumulation point of the other. 但是我们为什麽要讲 connectness 与 compactness? 因为讨论连续的时候, 连续函数会把 connected set 送到 connected set, 然後就有很漂亮的东西跑出来了! intermediate-value theorem! compactness 观念则可以引出一个很重要的内容: 紧致集上的连续函数必然是均匀连续, 这个内容在 Riemann 积分理论中十分重要: 连续函数在闭区间中必定是 Riemann 可积. 先讲到这边吧 :) --

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