作者plover (>//////<)
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标题Re: [问题]泰勒展开式
时间Sat Jun 25 02:56:40 2005
※ 引述《weiyulions (小鳖)》之铭言:
: 想要问一下何谓泰勒展开式阿
: 要怎麽使用阿
: 它的原理是甚麽阿
: 刚刚看到可是不知道那是啥东东
: 恳请解答..万分感谢
含余项的泰勒公式可看成 MVT 的推广,
如果我们对余项有好的估计的话, 可以把某函数写成泰勒展开式,
也就是用很简单的多项式函数的线性组合来表示一个函数,
这跟 Fourier series 是一样的精神 (用三角函数的线性组合).
怎麽使用? 这很难回答 :p
原理简单的说, 就是 MVT, 高微教本写的颇仔细, 可以看看 Rudin
或是 Apostol 的书, 这边简单叙述一下泰勒定理的内容:
Let f be a function having finite nth derivative f^(n)
everywhere in an open interval (a,b) and assume that f^(n-1)
is continuous on [a,b]. Assume that c in [a,b]. Then, for
every x in [a,b] with x≠c, there exists a point x_1, interior
to the interval joining x and c such that
n-1 f^(k)(c) f^(n)(x_1)
f(x) = f(c) + Σ ---------- (x-c)^k + ------------ (x-c)^n.
k=1 k! n!
︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿(*)
(*) 的部分称为 Lagrange reminder term, 还有其他型态的余项,
罗列如下:
Cauchy reminder term:
f^(n+1)(c + θ(x-c))
R_n(x) = ---------------------- (1-θ)^n (x-c)^(n+1)
n!
Bernstein reminder term:
x
R_n(x) = (1/n!)∫ (x-t)^n f^(n+1)(t) dt.
c
当然啦, 除了一个变数的泰勒公式外, 也有两个变数的泰勒公式,
n 个变数的泰勒公式. 个人常在转学考考题中看到求近似的题目,
方法正巧都是使用两变数的泰勒公式. 关於多变数泰勒公式, 如果没记错的话,
Wade 写的不错.
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