※ 引述《plover (>//////<)》之铭言： 补一篇简介的文章 O_o 集合论简介 前言 数学研究的对象，从那些实际存在的事物中高度抽象出来的一类客体(object)，以 这些客体为基分析它构成客体的各个组合成分．我们将某客体的部分客体称之为集 合(set)．我们可以说，通常的数学系统都是用一些集合来描述，而且也用集合来 构造．同时按学科本身的特有规律给集合以一些新的运算限制，形成该学科所要研 究的一种数学模型． 集合理论是完全就集合本身的一般规律建立起来的理论系统，它在近代数学的各个 分支中都是不可少的工具．近来有关集合论的研究日渐深入，普遍使用到各个方面 ，所以，集合论是近代数学的基础之一．从研究集合论的方法来说，较多是由非形 式观点趋向形式体系，而与数学逻辑发生关系，使集合论占了数理逻辑的四大分支 之一．这四个分支是：1.模型理论 2.集合理论 3.递归理论 4.证明理论． 集合论研究的基础是由人们熟知的一些关於有限集合的性质，从这些显而易见的性 质寻求探索无限集合的途径，和研究无限集合的具体方法．就有限集合来说，集合 的性质是十分显然的．然而，研究集合论的主要目的是解决有关无穷集合的问题． 关於有限推理的方法能否直接引用到无穷集合? 普通推理分析的方法存怎样的条件 下才能使用於无穷集合? 这是我们研究集合论的重点．今天的集合论已经解决了很 大一部分问题，但仍有很多待澄清的问题，需要进一步深入研究． 自从德国数学家 Cantor 证明了所有实数不能和自然数有一一对应的关系後，就开 始了抽象集合理论的研究．另一位德国数学家 Zermelo 於 1908 年发表了集合论 的第一套公理系统，後由 Fraenkel 於 1922 年加以改进补充，而构成了所谓的 ZF 公理系统．这是今天我们论述集合论的基础．然而，集合论在建立之初，还来 不及研究本身的一致性，就在建立过程中发生了不少逻辑的矛盾．这些矛盾的严重 性，不但引起了数学乃至哲学的争论，甚至引发数学界的分裂． 尽管如此，如果能仔细排除这些反论，集合论的公理体系仍带给了数学论证上很大 的严密性．「数学家从事於更正他们的错误已达二千五百年之久，同时也体察他们 的科学是丰腴而非贫瘠的．这使得他们有权在展望未来时持着欢欣的态度．」这是 在法国一群以 Nicolas Bourbaki 为笔名的数学家所提出令人鼓舞的言词． 集合论的历史 集合论的中心难题是无限集合的概念．这类集合自然地引起自古以来许多数学家和 哲学家们的注意，但是很多看起来矛盾的特性使得人们对它的了解一无进展．亚里 斯多德承认有无限集的存在，但却否认无限集合可存在为一固定的实体．对他而言 ，集合至多是「潜在的」无限，这种准无限大的观念一直深深地影响着两千年来数 学的发展． 整个中世记，哲学家对於是否有无限集合这个问题一直采取模棱两可的态度．他们 注意到两个同心圆可藉着同一半径而一一对应，但其中之一的周长却大於另一个． Galileo 亦曾研究过无限集合而反对它的存在，因为它无法顺应一般推理．他提到 不同长度的两线段 AB 和 CD 上的点可构成一一对应，因而可认为包含同样多的点 ．他又提到所有自然数可和其平方一一对应，只要将其平方即可．他认为这是显然 矛盾的．数学王子 Gauss 也说道：「我反对将无限做为一真实的量来运用，在数 学上这是不允许的．无限只是一种说法上的方便……」 Cauchy 也像他的前辈一样 否认无限集的存在．对他而言，部份可以和全部一样多似乎不可思议．大部份的数 学家乾脆忽视这类他们无法解决的问题，他们都避免真正提及或认定无限集，虽然 他们一直在使用无限集合，比如实数集．然而，十九世纪面对分析高度发展的需求 时，他们已无法将无限集的问题搁置一旁了． 第一个对集合论做确定探讨的人是微积分的奠基人之一 Bernhard Bolzano．他在 其「无限集的诡辩」一书中，为无限集合的存在做辩护．他还定义了集合的对等( equivalence)，即两集合元素间有一一对应的关系．这种对等的观念不论有限集或 无限集均可运用．他认为在无限集合中，部份集合可以和本身对等，他坚持这个观 念的重要和必须被接受．我们可以给无限集合一个「数」的表示，於是他赋予不同 的无限集一个不同的超限数(transfinite number)．但後来 Cantor 指 Bolzano 所赋予的超限数并不正确． 集合论的创始人是 George Cantor(1854-1918)‧他是生於苏俄的丹麦犹太後裔， 後随父母移居德国．他父亲希望他学工程，他怀着这个志愿进入柏林大学，在那里 受到了 Weierstrass 的影响而转攻数学．二十九岁时第一次在数学学报上发表革 命性的无限集合理论．他全新的创意与才华吸引了大家的注意．直至 1897 年，他 连续地发表了许多关於集合论及超限基数和序数的研究报告． 所谓集合，Cantor 认为是一些确定而相异事物的聚合，这个聚合我们能以心辨之 并决定某一事物是否属於它．他认为只承认有「准无限集」的观念是错误的，并反 驳早期数学家和哲学家对无限集的论调．对他而言，一个集合是无限的当且仅当它 能与它的一部分一一对应．他接着寻求区分无限集合大小的方法．和 Bolzano 一 样，他认为主要原则在一一对应的概念．两集合若能构成一一对应便称此两集合对 等或具有相同的「幂」(power)或「基数」(cardinal number)．若两集合 M, N, N 可和 M 的一部分一一对应，M 却不能和 N 的任一部份集合一一对应，则称 M 的 幂大於 N 的幂．说明了集合相同和不同的幂之後，Cantor 继续发展这种「幂」的 观念，并引入基数和序数的理论．其中以超限基数和超限序数是最精彩的一支． Cantor 从 1879 年发表在「数学年报」的一系列论文中逐渐发展这套理论．在其中 一篇论文中，Cantor 写道：「关於集合理论的研究，我的描述已达到了一个阶段， 它们能否继续有赖於实数能否超越目前的极限而一般化．这种一般化显然将采取一 种前所未曾尝试的方向．我深深地依赖这种一般化的数的概念，以致於若没有它， 我无法在集合论中跨前任一小步．因此为了必要，请原谅我在论证中引入新奇的概 念……然而，在我进行这些步骤时，我已将自己投身於反对的声浪之中……」 Cantor 的理论解决了许多问题并革新了很多古老的观念，然而这些理论在当时却难 以得到大家立即的接受．对 Cantor 理论反对最强烈的是在当时的数学权威之一 Kronecker．整整有十年的时间，Kronecker 一直在无情地打击着 Cantor， Cantor 想进入柏林大学任教的愿望也受到 Kronecker 的阻挠而作罢．虽然在 1891 年 Kronecker 死了，但他的攻击使数学家对 Cantor 的工作一直深怀戒心． Cantor 本入也因此受到强大的精神压力而患了精神分裂症，於 1918 年病逝於哈雷精神病 研究所． 自希腊以来，被认为已呈间歇的数学领域中，Cantor 的集合论无疑是项大胆的尝试 ．它严格地要求纯理性的论辩，并肯定高阶无限集合的存在．一切已超越人类直觉 所能掌握，这种远较前入为激变的思想若未遭遇反对反倒是件奇事了．而从集合论 中产生的一些反论，亦使人们益发怀疑其理论的正确性．除了 Kronecker 的激烈反 对外，其它数学家亦不表同情．法国数学家 Poincare 苛刻地批评说：「它产生了 许多我们遭遇到的诡辩，令季诺学派深以为满意的矛盾…… 我们不应介绍一些无法 用有限词句能完全定义的事物．」他并指出集合论是个有趣的「病例」，并预测说 「後世将认为这是一个我们曾经误入的歧途」． Weyl 则认为 Cantor 的 aleph 层 次是「雾中之雾」． 然而，真理只接受实践的检验，而不会屈服於权威之下．许多杰出的数学家仍然深 深地感受到集合论所提供的用途．在第一届国际数学家年会中，Hurwitz 和 Hadamard 指明超限数论在分析上的重要应用．其它方面的应用也很快地在测度论和 拓朴学中发现．当代数学大师，形式主义学派的领导人 David Hilbert 曾大力地宣 扬 Cantor 的思想．他说：「没有人能将我们赶出 Cantor 所为我们创造的伊甸园 ．」他赞扬 Cantor 的理论：「最令人惊异的数学思想成果，是人类纯理智活动最 美丽的表现．」逻辑主义学派的代表人物 Russell 亦形容它：「可能是这个时代所 能夸口最伟大的作品．」以今日眼光观之，这个 Cantor 为数学家所创造的乐园， 不仅不是什麽疾病，而是现代数学的出发点． 集合论的反论 二十世纪的数学家们最具深度的活动是基础方面的研究．数学家们以往一厢情愿的 假设现在转而成为冲击他们的问题．这些活动在本世纪初因一些矛盾的发现而揭开 序幕．这些矛盾被称为一种较温和的字眼「反论」(paradox)．另一方面，数学的一 致性(consistence)亦是在这个世纪初期，逐渐被意识出来而公开的一个问题．从集 合论里反论的出现看来，集合论特别需要建立其一致性．「反论」一词是含混的， 因为它应该是与一个已知的矛盾相比较，但数学家所遭遇的是无可置疑的矛盾． Cantor 在写给 Dedekind 的信中问道，是否所有基数的集合亦成一集合，如果是， 则应有一基数大於所有的基数．後来他藉着区分一致集和非一致集(consistent sets & inconsistent sets)否定了那种集合．而 Burali-Forti 指出所有序数形成 的序列，因为具有良序性，故应有一最大的序数做为此序列的序数，而此序数将大 於所有的其它的序数．这就是 Burali 反论． 另一着名的反论是 Russell 反论．Russell 以通俗的方式叙述其反论--理发师反论 (barber paradox)：一个乡村的理发师吹嘘他没有对手，他宣称将为那些不为自己 理发的人理发，并且不为那些替自己理发的人理发．於是，有人问他，那你是否应 为自己理发呢? 若他为自己理发，由他自己的宣称，他就不该为他自己理发，但若 他不为自己理发，按自己所言他又该为自己理发．於是这个理发师陷入了逻辑的困 境之中． Cantor 在 1899 年写给 Dedekind 的信中指出，若有人讨论所有集合的集合，他将 无法避免於矛盾．这在本质上就是 Russell 的反论．所有人的类聚(class)并非一 个人，但所有观念的类聚仍是一个观念，藏书的类聚仍是藏书．因此有些类聚并非 自身的元素，但有些则是．若我们把可为自身元素的类聚叫 M，另一类叫 N，则 N 本身是一个类聚．它是属於 M 还是 N ? 若 N 属於 N，则按 M 的定义 N 该属於 M ，但若 N 属於 M，因为 M, N 是互斥的，N 必不属於 N，这样一来 N 既非自身的 元素，则 N 应属於 N． 由 Jules Richard 所提出的 Richard 反论又不同於前述的逻辑反论，而是一种所 谓的语义反论．为了通俗起见，我们用中文来描述这个反论．中文的单词是有限的 ．用词句，语法组合起来的中文句子也只有可数多个．这些句子中，有些能定义一 个一元数论函数．例如这句话「在任意给定的自然数上，其值为这个数的平方」定 义了一个数论函数 f(n) = n^2 现在，把所有可以定义一元数论函数的语句拿出来，按照字典顺序进行枚举： E_0 , E_1 , E_2 ,... 它们分别定义函数 f_E_0 , f_E_1 , f_E_2 ,... 现考虑下面的语句：「一个函数，它在任意给定的自然数上，其值为上面序列中对 应於此自然数的函数在此自然数上的值加一」．也就是说，这个中文语句就定义了 一函数 f，它在任一数 n 上的值为 f_E_n(n)+1．这个函数显然和上面序列中的任 意函数都不相同．但我们已假设上面的序列能列举所有能用中文语句定义的一元函 数，这就构成 Richard 反论． Richard 反论还有一更通俗的形式．我们还是用中文叙述这个反论：「用少於十九 个中文字不能定义的最小整数」．这句话定义了一个整数，按定义是不能用少於十 九个中文字来定义的，但这句话只有十八个字! 这是 Richard 反论的一个变形．值 得注意的是，Richard 反论和 Cantor 所创立的对角线法非常类似，因此就引起人 们更大的兴趣． 这些反论的出现强烈震撼了数学的基础．当数学家们正企图用集合论调理许多古典 数学理论时，反论的出现每每动摇他们的信心．数学家们开始怀念反论尚未出现的 良辰美景． 集合论的公设化 数学家为数学基础开出的第一张药方是把 Cantor 的即兴之作公设化．其实这样的 处方并不新鲜，将几何及数系公设化曾经解决它们的逻辑问题．因此公设化方法至 少应能使集合论里的困难明朗化． 公设化运动由德国数学家 Ernst Zermelo 着手进行．他以为反论之所以出现，是因 为 Cantor 没有把集合的观念加以限制． Cantor 对集合的定义是含混的．Zermelo 希望清晰而明显的公设能使集合的定义及所应具有的性质更为显然． Cantor 曾经 区分了一致集和非一致集．Zermelo 自信能把他的集合局限於 Cantor 的一致集合 ，这些集合必能满足数学之所需．他的公设体系包含一些基本观念及公设本身所定 义的基本关系，而不是公设所述明的观念即未曾动用． Zermelo 的计划是只把不会 引起反论的类聚置於集合论里．例如空的类聚，有限类聚和自然数类聚等看起来都 是安全的．由一些已知的安全类聚所衍生出来的类聚，如部份类聚，安全类聚的联 集，一个安全类聚的所有部份类聚的类聚也是安全的．但他排除了补集的安全性． Zermelo 的计划由 Abraham A. Fraenkel 和 J. Neumann 加以改进．这套系统我们 今天称为 Zermelo-Fraenkel 公理系统，简称 ZF．在 ZF 里面区分了类聚(class) 和集合(set)．类聚是大到不能含於其它集合或类聚的集合，集合是较多限制的类聚 ．根据 Neumann 的说法，集合不容许引起矛盾，但可以当做其它类聚的元素． ZF 的公理系统已能把集合论拓展到符合古典分析的应用，也能防止反论的出现，至 少迄今无人在这套理论中发现反论．但这套公设化集合论的一致性并未完全被证明 过．关於此点，Poincare 有一段贴切的比喻：「我们已用围墙把一群羊围住，以防 止野狼的入侵．但我们不知这围墙内是否早已有野狼的存在．」 所谓一致性，也可称为相容性，协调性或非矛盾性，即指一公理体系内的各个公设 之间在有限的逻辑推理下不会导致矛盾．很显然的，如果一个系统内的公设是相互 矛盾的，那麽这个公理系统将无任何价值可言．当数学被视为是自然的真理时，互 相矛盾的定理是不可能发生的．因此一致性也就成了无稽之谈．但自从非欧几何兴 起後，它与实体感觉格格不入，而引起一致性的问题．至 1800 年代，人们逐渐意 识到算术和欧氏几何并非真理，这使得研究它们的一致性变成十分重要的事． Hilbert 曾在假设算术公设是一致的情况下，成功地建立了几何的一致性．这是所 谓的相对性证明．他在 1900 年的巴黎演说中提出着名的二十三个数学问题，其中 集合论的连续统假设和算术的一致性分列第一，二个． Hilbert 强调这是数学基础 中十分重要的问题．他还乐观地认为，必能在有限的逻辑步骤下，证明算术系统的 绝对一致性． Pringsheim 也说过：「数学所探寻的真理就是一致性．」 除了一致性的问题之外，为了证明良序原理，Zermelo 在集合论中引入了选择公理 (axiom of choice, AC)．许多数学家认为这个公理是有瑕疪的．选择公理的大意是 说在一由任意多集合所组成的集合族中，必可从其每一集合中挑选一元素组成一集 合．如果这集合族是有限的，那麽这样的挑选是显然的．但在一无限大的集合族中 进行这样挑选的可行性就倍受质疑．这个公理的必要性和独立性在一段相当长的时 间里悬而未解．直到 1940 年和 1963 年才分别由德国数学家 Godel 及美国数学家 Cohen 证明了选择公理对 ZF 公理系统的一致性及独立性． 百家争鸣 尽管一致性问题和选择公理的身份未成定论，集合论的公设化至少使数学家们化解 各种反论，并且将对基础的问题的兴趣冷却下来．但在此时，对数学基础的看法各 家纷起，它们无疑是因为反论和一致性问题的催生而得以见世．这时候，最具代表 性的学派有三个，互相争论．它们分别是由 Russell 和 Whitehead 创建的逻辑主 义学派，由 Brower 及 Weyl 为代表的直觉主义学派，以及由 Hilbert 为领导人的 形式主义学派． Russell 和 Whitehead 的逻辑主义认为，数学来源於逻辑，并且是逻辑的延拓．由 於逻辑的一致性是无可置疑的，透过逻辑处理，数学就成了从逻辑原理出发的一系 列推理．逻辑本身有一些公理，由逻辑导出数学就无需再为数学摆上公理．但这种 纯逻辑观点的态度招致了相当多的批评．若这种观点是对的，则数学是一个纯粹形 式，完全逻辑演绎的科学．它的定理是纯思想定律的产物，怎能应符千变万化的自 然现象和物理定律? 这是难以解释的．但尽管有许多批评，还是有许多数学家接受 了这套哲学．Russell 和 Whitehead 提供了完全公设化的逻辑，并以纯符号的形式 表达出来，使数学逻辑获益良多． 现代直觉主义的创建人是 Brower．Brower 以为数学思想是一个构造的过程．数学 的本质是与经验无关的，它是一种自由的设计，而只受到基本数学直觉的规范． Brower 认为在架构过程中，若能仔细判断那些论点能为直觉所接受，那些则不能， 就必能具备数学所谨有可能的基础．所以直觉主义者着手分析那些逻辑的原理可为 直觉所接受，并与直觉并行不悖．Brower 批判使用排中律的间接论证法，他认为这 个方法不适用於无限集合．排中律是起源於有限集合子集上的推理，不应无根据地 把它应用到无限集合上去．在论及无限集合时，直觉主义者坚持有第三种可能的叙 述．例如，若有人证明了在某一无限集合中并非所有的元素都具有某一性质时，并 不能就断言至少有一元素不具有该性质．因此以间接方法证明存在性亦不为直觉主 义者接受． Weyl 批评这种方法是，它告诉大家有一个宝藏，但没有指出确切的地 点．直觉主义还坚持数学对象必须是可构造的，也就是说，必须是能具体给出，或 能给出一个得到某一对象的计算方法．显然地，直觉主义所认定的数学，和 1900 年代以前数学家所接受的数学有相当大的差异． 然而，直觉主义否定实无穷，禁用排中律，提倡可构造的结果，导致一大批古典数 学的失效，高等数学的大部份成果都被丢弃掉了． Hilbert 便严词批评禁用排中律 的态度：「禁止数学家使用排中律，就好像禁止天文学家使用望远镜，或禁止拳击 手使用手套一样．」连 Weyl 也不得不承认：「Brower 曾使数学获得了它最高的直 观明显……但不能否认的，在向着更高级理论迈进时，却产生了几乎无法容许的尴 尬後果，数学家痛心地看到他所认为用具体材料搭成的大厦竟会消失於眼前浓雾之 中．」 为了从直觉主义者手中挽救古典数学，并且避开集合论的反论而为数学提供基础， 建立算术的一致性，自 1917 年起 Hilbert 用了二十多年的时间从事数学基础的研 究工作，奠立了形式主义学派的根基(尽管他本人并不自命为形式主义者)．形式主 义学派认为，逻辑和数学必须同时处理，在数学中的每一领域都应借助逻辑和数学 的概念而获得一公理基础． Hilbert 说：「数学思想的内涵就是符号．符号是主体 ，不必再把它附会为实体物之理想化．形式虽蕴涵直觉的意义，但这种蕴涵并不属 於数学．」Hilbert 及其门生於 1920 至 1930 年间，逐渐发展出一种所谓的元数 学(Metamathematics)的理论，这是一种建立形式系统一致性的方法．在元数学中， Hilbert 倡议使用一种特别的逻辑，这种逻辑是一切的基础，并能免於矛盾． 为了绝对地证明古典数论的一致性，Hilbert 希望采用一种直接的方法，这种方法 是由一致性的意义直接得出来的．也就是说，在一个理论中不能由公理既导出命题 A，又导出其否定式非 A．因此，我们必须证是关於该理论本身的命题，特别是该理 论中各条定理的一切可能的证明．於是，该数学理论本身就成了另一种数学研究的 对象．被研究的理论称为「对象数学」，而研究对象数学的「另一种数学」， Hilbert 就称之为「元数学」．元数学是研究对象数学的基本工具，它应当是可靠 的，并且只能使用有穷逻辑和不含实无穷的初等数论．这套方法就构成了所谓的 Hilbert 方案：将古典数学表示为形式公理理论，并用有穷方法证明这一理论的一 致性． Hilbert 方案的中心概念是有穷方法．这是由直觉主义者首先提倡的．但两者所持 的观点截然不同．主要徵结在於对实无穷的态度．直觉主义者认为人类的思考是有 限的，因而反对任何实无穷概念的存在．形式主义者则认为古典数学的一致性问题 是由实无穷引起的，因此在论证古典数学没有矛盾时，只能采取在直观上明显可靠 的，在有限逻辑步骤上能证明的，否则就会引起循环论证的问题．然而一旦用有穷 方法证明了算术系统的一致性之後，依靠算术所建立起来的实数理论及古典分析的 合理性便无可置疑． Hilbert 在数学问题的演说中便强调：「一旦完成了一致性的 证明，曾有对实数系存在性的怀疑将完全消失．」 Hilbert 及其合作者按照 Hilbert 方案对数论及分析的一致性进行研究，并取得了 部份的成果．然而，Hilbert 在当时并不了解证明古典数学一致性在本质上的困难 ．直至 1930 年，他还乐观的认为，只要作出足够的努力，并对已有的结果作较直 接的扩充，就能达到他所希望的目的． 最近的发展 正当形式主义学派信心满满地致力於 Hilbert 方案的实施时，德国数学家 Kurt F. Godel 给了他们一记沉重的打击．这就是 1931 年，Godel 所发表的着名论文「论 数学原理和有关系统的形式不可判定命题与论完全性和一致性」，其主要结论即所 谓的 Godel 不完全性定理：如果一个形式系统是无矛盾的，而且足够丰富可以包含 算术公理，那麽它是不完全的．也就是说，存在一形式公式 S 使得 S 及非 S 都不 是系统的定理．因此在数论中存在不能证明的真叙述．这是 Godel 的第一定理，适 用於 Russell 和 Whitehead 的「类型论(theory of types)」， ZF 公理系统及 Hilbert 的数论公设化． 不仅如此，Godel 第二定理更表明了，如果这个形式系统是没有矛盾的，那麽其一 致性的形式证明是不存在的．这一结果，直接破灭了 Hilbert 的理想，绝对地证明 数论的一致性．Hilbert 得知此结果後十分震惊，他随即决定把证明一致性的有穷 方法加以扩充，允许使用超限归纳法．1936 年，Gentzen 用超限归纳法证明了形式 数论系统的一致性．然而，这已经不是严格意义下的有穷方法了． Godel 所构造的不可判定命题带有过多人为雕凿的痕迹．然而，1982 年，美国数学 家 Paris, Harrington 及 Friedmann 相继在有限组合理论中，找到了既不能肯定 不又能否定的命题．由此看来，Godel 定理似乎已越出逻辑学，数学基础和哲学的 范围，而对当代日常数学发生影响． 除了不完全性定理之外，Godel 於 1940 年又证明了如果 ZF 系统在去掉选择公理 後是一致的，那麽加上这个公理後仍是一致的．同样的，连续统假设(continumm hypothesis)与 ZF 系统也是一致的． Godel 引入了可构成公理，证明如果 ZF 有 模型，那麽 ZF+AC，ZFC+CH 仍是有模型的．因而肯定了选择公理与连续统假设和 ZF 系统的相对一致性． 更进一步，1963 年 Stanford 大学教授 Paul J. Cohen 证明选择公理与连续统假 设是独立於 ZF 系统的． Cohen 提出了力迫方法与脱殊集合的概念，建立了 ZF 系 统的一个模型，在其中 AC 不成立．因而说明了选择公理独立於 ZF 系统．进一步 ，还可以为 ZFC 构造一模型，使得 CH 不成立．也就是说，ZF 公理系统再加上选 择公理也不能证明连续统假设． 参考书目 集合论 凡异出版社 哥德尔不完全性定理 九章出版社 连续统假设 九章出版社 数学史 九章出版社 --

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