第三次数学危机 一个有趣的故事 在村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸，那麽， 他给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当 给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由於他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应 当给自己刮脸了。他应该如何呢？ 数学和哲学界的巨匠──罗素 以上的故事就是着名的「罗素悖论」。罗素（Russell）是英国着名的哲学家和 数学家，曾获得诺贝尔文学奖金。他想把算术系统全归结於逻辑，所以他与怀海 德合作写的一本巨着《数学原理》。 理发师的威力 罗素的悖论确是给当时正为了微积分的严格基础被建立而欢欣鼓舞的数学家们泼 了一盆冷水，但这个理发师的力量有多大，竟然可以推倒数学大厦呢？在较高等 的数学里，我们会把整个数学的基础纳入「集合论」之中，换句话说，集合论便 是数学大厦的基石，所以当集合论中出现矛盾时，建基於此之上的数学大厦也会 站不住脚，而罗素的悖论却是向着这个基石作出致命的一击，这个「自己既要属 於自己又同时不属於自己」的矛盾是在集合论中的矛盾，也就是在数学基础中的 矛盾，只要矛盾一日存在，数学大厦也不可稳固，更会在倒塌的危机，这个也是 数学的第三次危机。 解铃还须系铃人？ 罗素虽然提出了问题，成为危机的制造者，但同时也是危机的解决者，罗素在他 的着作之中提出了层次的理论以解决这个矛盾，使得「自己既要属於自己又同时 不属於自己」不可能出现。不过，这个层次理论十分复杂，所以数学家要把这个 方法加以简化，而先提出的人是策墨罗，他提出了「有限抽象原则」和几条公理 ，及後再由弗兰克和斯柯伦的补充修改，仍成现在在数学上较为流行公理系统─ ─「ZFS公理系统」。这样不单只解决了罗素的悖论，令数学从回到严紧和无矛 盾的领域，而且更促使一门新的数学分支──「数学基础」有着迅速的发展。 数学危机的启示 在这三次的数学危机中，我们可以看到数学的发展跟面对问题和正视困难是离不 开的，透过克服一次又一次的困难而得到「成长」和完善，越是不怕艰辛，收获 便越大。第一次数学危机使人类突破有理数的局限；第二次数学危机从提数学的 严紧性和诞生了新的数学分支；第三次数学危机警醒人除了发展各式各样不同的 分支以外，还得回看数学的根基本身，使数学迈向更完备。然而，成功并非一朝 一夕，必须经历无数的挫折和失败，伤心和失望满布成功的路上，但只要不放弃 ，成功依然是可以达到的。另一方面是要从危机中的学习，学习如何应付之余， 还要学习如何避免再次陷入危机之中。 -- 罗西尼：『莫札特不是最伟大的音乐家，他实在是世界上唯一的音乐家。』 萧邦最後遗言：『请演奏莫札特的音乐追忆我。』 海顿：『亲朋好友常说我才比天高，但莫札特却在我之上。』 --

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