第一次数学危机 历史背景 毕达哥拉斯（约公元前580年─公元前300年）是一位古希腊的数学家及哲学家 ，他曾有一句名言「凡物皆数」，意思是万物的本原是数，数的规律统治万物。 不过要注意的是，在那个年代，他们相信一切数字皆可以表达为整数或整数之比 ──分数，简单而言，他们所认识的只是「有理数」。 有趣的有理数 当时的人只有「有理数」的观念是绝不奇怪的。对於整数，在数线上我们可以知 道是一点点分散的，而且点与点之间的距离是一，那就是说，整数不能完全填满 整条数线，但有理数则不同了，我们发现任何两个有理数之间，必定有另一个有 理数存在，例如：1与2之间有1/2，1与1/2之间有1/4等，因此令人很容易以为「 有理数」可以完全填满整条数线，「有理数」就是等於一切数，可惜这个想法是 错的，因为…… 毕氏定理、毕氏铁拳 伟大的时刻来临了，毕达哥拉斯发现了现时众所周知的毕氏定理（其实中国於公 元前一千一百年已有此定理），从这个定理中，毕达哥拉斯发现了一件不可思议 的事，就是腰长为１的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理 数的数。亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全 填满整条数线，他们心中的信念完完全全被破坏了，他们所恃和所自豪的信念完 全被粉碎。在当时的数学界来说，是一个极大的震撼，也是历史上的「第一次数 学危机」。 新的一页 原来「第一次数学危机」是「无理数」的发现，不过它还说出了「有理数」的不 完备性，亦即有理数不可以完全填满整条数线，在有理数之间还有「罅隙」，无 疑这些都是可被证明的事实，是不能否定的。面对着事实，数学家展开广阔的胸 襟，把「无理数」引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备，加添了无理数，数 线终於被填满了。 -- 罗西尼：『莫札特不是最伟大的音乐家，他实在是世界上唯一的音乐家。』 萧邦最後遗言：『请演奏莫札特的音乐追忆我。』 海顿：『亲朋好友常说我才比天高，但莫札特却在我之上。』 --

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