作者LimSinE (r=e^theta)
看板IMO_Taiwan
标题Re: [情报] APMO 2011 题目
时间Wed May 25 10:58:42 2011
问题五：试确定所有满足下列2条件的函数f:R→R ，其中R是所有实数所形成的集合：
（1）存在实数M，使得对於任意实数x，均有f(x)<M。
（2）对於所有的实数x与y，均有f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)。
f=0是解，以下找其余的解
1.
y=1： f(xf(1))=xf(1) 有上界→f(1)=0，故f(0)=0
2.
x=1： f(f(y))=2f(y) 2f(R)<f(R)，有上界→ f<=0
3.
x=y, y=x： f(yf(x))+xf(y)=yf(x)+f(xy)
和原式相加得 f(xf(y))+f(yf(x))=2f(xy)
→「若f(xy)=0，则 f(xf(y))=0，再代回得 xf(y)=yf(x)」
4.
Claim: 若 f(z)=0，则z>=0
反证法
设z<0，则对所有xy=z, x>0, y<0，0 >= xf(y)=yf(x)>=0，故f(x)=f(y)=0
这些x,y分别跑遍所有正数和负数，得f=0，矛盾
5.
Claim: 若z>0，则 f(z)=0
取x=1/z>0, y=z>0，则0=f(1)=f(xy)，由3.，f(xf(y))=0，由4.，xf(y)>=0，故f(y)=0
6.
x=-1,y>0：记f(-1)=a，则 ya = f(-y)
利用2. 可确定a=0,-2 (a=0→f=0矛盾)
故另一解为
f(x)= 0, if x>=0
=2x, if x<0
验算合。
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代数几何观点！
Algebro-Geometrical Aspect!
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