作者yuyol (佑佑)
看板IMO_Taiwan
标题许志农讲义封面的几何题
时间Tue Sep 28 00:00:44 2004
最近有人问,又刚好解出来,所以献丑了
[已知]一个任意圆，圆内一任意点P
过P作任意四弦，此四弦的交角为45度（八个角）
八块由弦和圆周围成的区域（类似扇形）依序为a,b,c,d,e,f,g,h
[求证]a+c+e+g=b+d+f+h（面积）
[证明]假设四弦在圆周上焦点依序为A1,A2,...,A8,
不失一般性,假设 P 在 PA1A8 内,则
PA1A2 = OA1A2 + OPA2 - OPA1
PA3A4 = OA3A4 + OPA4 - OPA3
PA5A6 = OA5A6 + OPA5 - OPA6
PA7A8 = OA7A8 + OPA7 - OPA8
令 A1A5 , A3A7 中点分别为 M , N ,则
OPA1 - OPA5 = 2 * OPM = OMPN
OPA7 - OPA3 = 2 * OPN = OMPN
故 OPA1 + OPA3 = OPA5 + OPA7
同理 OPA2 + OPA4 = OPA6 + OPA8
因此 PA1A2 + PA3A4 + PA5A6 + PA7A8
= OA1A2 + OA3A4 + OA5A6 + OA7A8
= 圆面积 / 2
同理 PA2A3 + PA4A5 + PA6A7 + PA8A1 = 圆面积 / 2 , 证毕 #
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