※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之铭言： 问题很多，一个一个来= =" : 1 : 一个二阶ode : y'' + p(x)y' + Q(x)y = 0 : 在 x = a 点 : p(x) 和 Q(x) 都解析 : 解析一词 我搞好久 解析是指 都等於0吗? : 所以 都解析 = 都等於0 ?? 可解析的定义是:除了a点可微分，附近的点也可微分，称为可解析。 可解析跟可微分复变应该会讲到，级数解这边不要钻牛角尖，只要判断存不存在就好。 : 则称 x = a 为 ODE 之一常点 : 常点是什麽东西 我到现在还是 无解 : 试题目都会给吗 ? : 例如 y(0) = 1 : 0 为 常点 所以用 泰勒级数展开 这样吗? : 所以 以後看到题目给 初始条件 x = 多少 : 想也不用想 就用泰勒吗 : 我不太了 我研究很久了@@ 用例子解释: y"+[1/(x-1)]y'+[1/(x-1)^2]y=0，其中P(x)=1/(x-1)，Q(x)=1/(x-1)^2 假设题目说要对0展开，则把0代入上式的P(x)跟Q(x)，发现P=-1，Q=1 都存在 所以0是此ODE的常点。直接用泰勒级数展开去解。 : 反之 : p(x) 和 Q(x) 至少有一不解析 则称 x = a 唯一奇异点 : || : 不等於 0? : 这里要怎麽判断.. 可以请大大举个例子吗@@ 同样用上面那个ODE来解释。假设题目现在说要对1展开，则把1带入P(x)跟Q(x) 会发现P无穷大，Q也是无穷大。也就是在1这个点P(x)跟Q(x)不可微分，不可微分的话必 定不可解析。(可解析的定义比可微分严格) 所以在这边1是此ODE的奇异点。 : 感觉 书上题目 没教我判断这个 : 只教我们判断是否为 规则奇异点 含 不规则奇异点 : 当判断出 x = a 为奇异点 : 才能判断是否为 规则奇异点 含 不规则奇异点 : 诞我都卡在这里 : 接下来 : 2 : (x-a)p(x) 和 (x-a) Q(x) : x = a : 带进去都解析(都等於0?) : 为规则奇异点 : 如果其中一个不解析(不等於0?) : 就是不规则奇异点 : 所以我拿到题目 : 都要先移项成 : 2 : (x-a)p(x) 和 (x-a) Q(x) 这样吗? : 那解析应该是判断这边 吧 : 所以 移项後等号右边就不用管他是吗@@ : 判断 : 2 : (x-a)p(x) 和 (x-a) Q(x) 这里就好? 这边判断规则或不规则奇异点不是原ODE拿来移项。 继续上面的例子:y"+[1/(x-1)]y'+[1/(x-1)^2]y=0，其中P(x)=1/(x-1)，Q(x)=1/(x-1)^2 我们已经知道1是奇异点，这时候判断奇异点类型，就是直接把1代入(x-1)P(x)和 [(x-1)^2]Q(x)。会发现两者皆=1，存在。所以1是此ODE的规则奇异点。 : Q(x) 一定要臭成二阶 书上这样写@@ : 讲这麽多 就是判断题目该用 泰勒级数 还是 Frobenius 来解 : 如果有常点 就用 泰勒 : 是 规则奇异点 就用 Frobenius : 那 不规则奇异点 可以干麻?? 不规则奇异点不能用级数解。 : 不好意思问题有点多 : 因为第三章及数解 我就只差在这里就都搞通了 : 再来解题就是无脑解 这样.. : 如果观念错误.. : 希望有高人能指点一下.. 总结一下级数解判断流程 y''+P(x)y'+Q(x)y=0 1.当题目说对a点展开，则把a带入P(x)跟Q(x)，都存在(有值，包括0)的话为常点，用泰勒 展开解。 2.当a代入P(x)跟Q(x)有出现不存在(无穷大)情况时，为奇异点。要继续判断为规则或不 规则奇异点。 3.再把a代入(x-a)P(x)和[(x-a)^2]Q(x)判断，都存在的话为规则奇异点，用Frobenius解 4.上面的判别有不存在情况时，为不规则奇异点。此时无级数解。 最後这个ODE可以练习判断一下 (x^2)y"+y'+xy=0 1为此ODE的常点，规则或不规则奇异点? Ans:常点 0为此ODE的常点，规则或不规则奇异点? Ans:不规则奇异点 --

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