要谈到关於为什麽0.999...=1这件事，我们必须先问自己一个问题：「我们真的知道什麽是 实数吗？」 自然数很简单，就是1, 2, 3, ...，再复杂一点顶多就是用空集合去数个数对吧。 整数就是算上一个0加上所有自然数给一个负号。 而有理数就是两个整数排在一起。 从自然数到有理数的扩展过程看起来都是一对一对的。 然而，实数呢？ 几乎所有人都知道根号二是一个无理数，但其他不是n次方根、也不是π或e的无理数怎麽办 ，但我们到底怎麽用我们所知的有理数扩展到实数？ 这边我将参考Rudin所写的数学分析第一章的附录，为各位介绍戴德金分割（Dedekind cut ） 首先来第一个定义： 定义：（戴德金分割） 一个有理数的子集合α可以被称为分割（cut）必须满足以下条件： (i) α不是空集合，而且α也不等於有理数集合。 (ii) 如果x属於α，y属於有理数，而且y﹤x，则y属於α。 (iii)如果x属於α，则存在一个有理数z，使得x﹤z。 第二个条件告诉了我们如果x属於分割α，则比它小的数全部都会在这个集合里面。第三个 条件告诉了我们x属於分割α，则一定会有至少一个数在α里比x还要大，换句话说，这个α 是不存在最大元素的。而我们可以把收集所有分割的集合称作实数。而第一个条件排除了负 无限大和正无限大。 我们利用了戴德金分割构造出了这个所谓实数的集合。然而你会发现，我们的有理数不在这 个实数集合里面了怎麽办？其实很快可以发现实数集合里有一个跟有理数差不多的子集合。 这个新的有理数Q*的元素可以这样构造： 假设q属於有理数Q，定义 q* = {p属於Q : p﹤q} 接下来验证q*是否为分割。 由於q-1属於q*，因此q*不是空集合；由於q+1不属於q*，因此q*≠Q。故满足(i)。 假设x属於q*，y属於有理数，而且y﹤x，则y﹤x﹤q。故满足(ii)。 假设x属於q*。由於(x+q)/2﹤q，(x+q)/2属於q*。由於(x+q)/2﹥x，故满足(iii)。 由此可知所有q*都是分割，因此我们把收集所有q*的集合当作新的有理数Q*。 接下来我们看一个无理数例子： 定义α={p属於有里数 : p^2﹤2或p≦0} 检查三个条件。 由於0属於α，所以α不是空集合；由於2不属於α，所以α≠Q。故满足(i)。 如果p属於α，q属於有里数，q﹤p。假设q≧0，则q^2﹤p^2<2，所以q属於α。假设q﹤0， 显然地，q属於α。故满足(ii)。 接下来定义一个数 z=p-(p^2-2)/(p+2)=(2p+2)/(p+2)，则 z^2-2=2(p^2-2)/(p+2)^2﹤0 因为z^2﹤2，并且z﹥p，所以z属於α。故满足(iii)。 所以α是一个分割，也就是属於实数。 而这个所谓的实数在适当的构造下满足了所谓体（Field）的性质，简单来讲就是经过加法 和乘法後所得出的数字还会在这个集合里面，并且满足结合律、分配律、交换律，并且都有 加法和乘法的单位元，还有每个操作都有反元素等良好性质。而与有理数最大的差别在於最 小上界性质，也就是任意一个实数集合，你都可以找到一个大於这个集合里，最小的实数。 但碍於篇幅关系，而且我也累了，如果读者有兴趣，可以自行练习或是读Rudin这本书，接 下来我们就直接快转到无穷小数的部分。 为了回答为什麽0.999...=1这件事，我们必须先构造一个可以表示无穷小数的戴金德分割构 造。我就先构造[0,1]这个区间的无穷小数，其他地方可能要请读者自行推广。 （为了方便区别戴德金分割和有理数，是戴德金分割的元素一律加上*，例如：1*） 定义 0.(a_1)(a_2)(a_3)(a_4)(a_5)(a_6)...* ={p属於有里数 : 对於某自然数i，p﹤0.(a_1)(a_2)(a_3)...(a_i)} 其中，a_i=0, 1, 2, ..., 9, i属於自然数。 由於这个构造很显然地是戴德金分割，所以这边就不再多做证明了。 有了这个构造，我们就可以来证明0.999...*=1*这件事了。 首先为了证明0.999...*属於1*，随便取一个p属於0.999...*。 对於某个自然数n，p﹤999...9/10^n，这边的999...9有n位。 很明显地，p﹤999...9/10^n﹤1，所以p属於1*。 接下来要证明1*属於0.999...*，随便取一个p属於1*，故p﹤1。由於p是有理数，p可以写成 p=m/n，m,n为整数。定义s为n的位数，则 p=m/n﹤999...9/10^(s+1)，故p属於0.999...*。 由此可知，0.999...*=1*。 证明完毕。 --

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