作者navarra (Maestoso)
看板Economics
标题Re: [请益] GLS Efficiency
时间Wed Oct 27 00:39:46 2010
※ 引述《washburn (Back to school.)》之铭言：
: Let Omega^{-1} = P'P, in which P is invertible.
: Let Z = P'^{-1} X.
: var(beta_GLS)^{-1} - var(beta_OLS)^{-1}
: = X' Omega^{-1} X - X'X (X' Omega X)^{-1} X'X
: = X' P' [I - P'^{-1} X (X' P^{-1} P'^{-1} X)^{-1} X' P^{-1}] P X
: = X' P' [I - Z (Z'Z)^{-1} Z'] P X, which is positive semidefinite.
: Q.E.D.
感谢解惑，不过对於 I - Z (Z'Z)^{-1} Z' 为何是 p.s.d. 仍不太清楚
令 A = I - Z (Z'Z)^{-1} Z'，则我可以证明 A 是 idempotent
对於一个 idempotent matrix A 与任意一个非零向量 x，
x'Ax = (Ax)'(Ax) 只是 Ax 所有元素的平方加总而已，
所以 x'Ax 恒非负，也就是 A 至少是 p.s.d.（通常会是 p.d.）
这样应该正确吧？不知有没有问题？
觉得一个看似应该很直观的证明却不是那样容易......
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 111.82.206.206
1F：推 washburn:没错, 就是这样. 10/27 01:07
2F：推 letibe:这题上个礼拜刚考过，好怀念的感觉 10/27 02:05