作者navarra (Maestoso)
看板Economics
标题[请益] GLS Efficiency
时间Tue Oct 26 10:23:49 2010
在线性回归模型 y=Xβ+u 中，若 E(u|X)=0，X 也 full rank，
且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity)，
则此时 Var(β_hat_OLS)=inv(X'X)*(X'ΩX)*inv(X'X)，
而 Var(β_hat_GLS)=inv(X'inv(Ω)X)
（此处的 ' 表示矩阵转置，inv 表示反矩阵）
为证明此种情况下，GLS 估计式比 OLS 估计式更具效率，
我必须证明 Var(β_hat_OLS)>=Var(β_hat_GLS)，
也就是上述两个矩阵相减至少是一个 positive semidefinite matrix
现在的问题是：OLS 的部分有一个 (X'ΩX)，GLS 的部分则是 inv(X'inv(Ω)X)
我似乎无法找到两者结构的共通处以进一步化简，因为 X 不是 square matrix
试了很久也无法将两者相减的矩阵写出一个类似 a'Ma>=0 的型式
不知道是否有高手可以提示一下其中的 trick？谢谢
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