※ 引述《seller (selling your soul)》之铭言： : 和前一篇发的文题目类似 但有延伸 感谢版友指教 : 如果甲消费两样商品 X 和 Y : 效用函数为 U(X,Y)=9(X^1/3)(Y^2/3) : a. 若有180张配给券(不可自由买卖)。要购买一个单位的X， : 要现金8元外加上4张配给券；买一单位Y需付5元加上6张配给券。 : 设所得240元，商品可以无限分割，甲会选择何种商品组合? : p.s. 不知道预算限制式要如何改? : 有想到180除4等於45 代表X最多买45个...etc.但实在不知道如何求 : b. 若配给券可以自由买卖， : 每张0.5元，此人会买卖多少配给券(配给券可无限分割)?会何种商品组合? : 甲是否会因配给券买卖而效用增加? : 谢谢大家回答 :) a. 这一小题用图解，因为有两条预算限制是分别为 8X + 5Y = 240 及 4X + 6Y = 180，因此必须符合在两条预算限制的范围中 ↓ ↘ (因为不会在BBS画图，所以用口述，请见谅) 在(30,0)与(0,48)连一直线 在(45,0)与(0,30)连一直线 ↘ ↙ 两条重叠区域为一四边形 因为效用函数为 C-D ，所以由图可知两直线交点为效用极大点，因此两直线解联 立为後 X = 135/7 ， Y = 120/7 ， U = 9 * (135/7)^(1/3) * (120/7)^(2/3) = 160.46 b. 因为券可以所得买卖，且券与钱的兑换比例为2:1所以设两条预算限制式分别为 8X + 5Y = 240 + M M为换券後现金 4X + 6Y = 180 - 2M 因此 L = 9(X^1/3)(Y^2/3) + λ1 * (240+M-8X-5Y) + λ2 * (180-2M-4X-6Y) By FOC Lx = 3 * X^(-2/3) * Y^(2/3) - 8*λ1 - 4*λ2 = 0 ......(1) Ly = 6 * X^(1/3) * Y^(-1/3) - 5*λ1 - 6*λ2 = 0 ......(2) Lm = λ1 - 2*λ2 = 0 ......(3) Lλ1 = 240+M-8X-5Y =0 ......(4) Lλ2 = 180-2M-4X-6Y=0 ......(5) 由(3)知 λ1 = 2*λ2 .......代入(1)、(2)得 3 * X^(-2/3) * Y^(2/3) = 10*λ1 ......(6) 6 * X^(1/3) * Y^(-1/3) = 8*λ1 ......(7) From (6)/(7)得 Y= 5/2 X 代入两限制式得 41X - 2M = 480 19X + 2M = 180 ...再解联立可得 X = 11，M = -14.5 再代回前面式子可得 Y = 27.5 因此此人会买29张券(花14.5元)，此时组合为 (X,Y) =( 11 , 27.5 ) 而效用为 U = 9 * 11^(1/3) * 27.5^(2/3) = 182.36 > 160.46(原效用) 因此会因配给券买卖而效用增加。 我是这样解的，不知道对不对，如有错误还请各位纠正。 --

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