※ 引述《CVPR (ICCV)》之铭言： : 如果我有一张图片的数张不同大小版本 : 这些图片在高维空间也是形成manifold吗? : 还是说不行? 不知道你要知道多细 单就你推文的"失真" 就只是upscale/downscale所用的演算法 进行的内插再取四舍五入的结果而已 而你不管用(1)nearest(直接找最近然後复制) (2)bilinear(双线性内插 & 四舍五入) (3)bicubic(双三叉值内插 & 四舍五入) 这些方式都有经过不连续函数的作用如下： (1) step function (2) bilinear form + 四舍五入(非线性) (3) bicubic form(XD? 数学上没学过这种名称) + 四舍五入(非线性) 接着最重要的原因是影像所在的空间是discrete(离散型)的 上面这些函数(或是做影像的神经网路的output最後要形成影像也是要四舍五入) 就只是把处在离散空间的影像打到另一个离散空间 因此单就"离散"来看 讨论流形是毫无意义的 离散空间本身是0维流形，就只是点 因此我推文才说，这些点你说他座落在某个曲线(1维流形)、曲面(2维流形)... 都随你讲，数学上都是对的，也有无限多组解 所以要把这个问题有意义化，需要把空间连续化 像是原本RGB三通道且宽=w, 高=h的影像空间纯粹同构於 D:={0,1,...,255}^(w*h*3) 将空间连续化自然就变成 C:= [0,1,...,255]^(w*h*3) 因此上面那三种演算法中的(2)(3)自然不用去四舍五入，保留前面连续函数的部分 而这两个连续函数的变数都只有两个且都是无穷可微函数，令为f 因此f(C)是一个可微二维流形 总结来说，在问"拉伸同一张图片是否形成manifold"前，要先问 (1)你的manifold定义是什麽 (2)你的拉伸演算法是什麽 如果都无法明确定义，或是只是一种"感觉"罢了，那就不用太care这个问题了XDD 像是我把一张图片每次旋转1度形成360张图 然後用UMAP流形降维再用tensorboard画3D图 确实这些点如预期的形成一个环 = 一维流形 符合变数只有一个 = 角度 把这些点看成佛珠的话，人类很直觉会把他代入成一个环(圆环线串起来) 但是数学上有无穷多种可能的线去穿过全部的佛珠 ----------------------------------------------------------------- 一开始接触ML/DL时看到manifold learning很兴奋 看如何跟黎曼流形连结 直到我看到了这句：这里所称的流形与数学上不太一样 纯粹是个概念( ′-`)y-～ --

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