作者mantour (朱子)
看板Math
标题Re: [代数] 级数的不等式证明
时间Tue Sep 17 20:33:37 2024
※ 引述《mantour (朱子)》之铭言：
: ※ 引述《Lanjaja ()》之铭言：
: : 想问一道不等式证明：
: : 设a_1 ≦ a_2 ≦ ... ≦ a_n，a_i不限正负。
: : 定义A_k =Σ_(i=1 to k) a_i
: : A'_k = Σ_(i=1 to k) a_σ(i)
: : σ(i)是i的置换permutation
: : 证明对所有的k=1~n，A_k≦A'_k都成立。
: : 请问强者应该要怎麽证明这个A_k的性质？
: : 感谢回答～
数学归纳法:
(1) 对任意 σ, k=1时
因为 a_1 ≦ a_2 ≦ ... ≦ a_n
所以 A_1 = a_1 ≦ a_σ(1) = A'_1
(2) 假设对任意 σ, k=j 时 (1<j<n), A_j ≦ A'_j 都成立
若 σ(j+1) >= j+1
则 a_σ(j+1) >= a_(j+1)
A_(j+1) = A_j + a_(j+1)
<= A_j + a_σ(j+1)
<= A'_j + a_σ(j+1) = A'_(j+1)
若 σ(j+1) <= j
则 存在 1<= m <= j 使得 σ(m) >= j+1
令 σ'(i) = { σ(i), if i不等於 m, j+1
σ(j+1), if i=m
σ(m), if i=j+1
(也就是第m项和第j+1项对调, 对调後前j+1项的和不变)
A''_k = Σ_(i=1 to k) a_σ'(i)
则 A'_(j+1) = A''_(j+1)
= A''_j + a_σ(m)
>= A_j + a_σ(m)
>= A_j + a_(j+1)
= A_(j+1)
因此 k=j+1时也成立
由(1), (2) 及数学归纳法得证 k=1~n时都成立
: 令
: S_k={a_i, i=1~k}
: S'_k={a_σ(i), i=1~k}
: P_k= S_k \ S'_k
: Q_k= S'_k \ S_k
: 则
: sum(S_k) - sum(S'_k) = sum(P_k) - sum(Q_k)
: n(P_k) = n(Q_k) = k - n(S_k∩S'_k)
: 对所有 x 属於 P_k 且 y属於Q_k , x≦y
: 因此 sum(P_k) ≦ n(P_k)*max(P_k) ≦ n(Q_k)*min(Q_k) ≦ sum(Q_k)
: => sum(S_k) ≦ sum(S'_k)
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※ 编辑: mantour (220.137.14.92 台湾), 09/17/2024 20:39:22
※ 编辑: mantour (220.137.14.92 台湾), 09/17/2024 20:42:05