作者WINDHEAD ( )
看板Math
标题Re: [代数] 不等式证明
时间Fri Sep 13 21:09:44 2024
※ 引述《Lanjaja ()》之铭言：
: 各位先进好，
: 我想请问一道以前没有看过的不等式证明。
: 题目是这样：对於x_i均非负数，i=1~n
: 试证：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n)
: 当n=3时我可以乘开，但是这样的证明方式有其局限性。
: 到n≧4的时候我平方後会开始多出许多不是不等式右方的项，接着就处理不下去了。
: 恳请板上强者帮忙提供一下这个不等式的证明。
: 感谢回答～
刚刚仔细看了一下还真的跟 n 有关
我们想要知道 LHS = (x_1+x_2+...+x_n)^2
是否大於 RHS = n(x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)
一个简单的数字代入是 令 y = x_1 = ... = x_k , 其余为 1
那麽 LHS = [ky+(n-k)]^2 , RHS = n(k-1)y^2+2ny+n(n-k-1)
LHS - RHS 可整理得到 (k^2-nk+n)(y-1)^2
令 f(n,k) = k^2-nk+n = (k-n/2)^2 + (4-n)n/4
所以当 n>4 的时候 我们总是可以取 k = [n/2] 使 f(n,k) < 0
也就是 LHS - RHS < 0 对於所有 y
但你也可以取 k=1 让 LHS - RHS = (y-1)^2 ≧ 0 对於所有 y
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※ 编辑: WINDHEAD (220.136.83.106 台湾), 09/13/2024 23:49:42
1F：推 Vulpix : 我是想要去证positivity，用行列式算不知道好不好 09/14 00:38
2F：→ Vulpix : 算。 09/14 00:38
3F：→ mantour : u=(1,1,1,2,2) 时w=(-0.4,-0.4,-0.4,0.6,0.6) 09/14 09:42
4F：→ mantour : <w,Tw>=0.2 > 0 09/14 09:42
5F：→ WINDHEAD : 对诶 我删掉好了 09/14 11:19
(1,1,1,2,2) 时(x_1+x_2+...+x_n)/n = 7/5
但是√((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n) = √2
右边反而比较大
※ 编辑: WINDHEAD (220.136.83.106 台湾), 09/14/2024 11:29:45
6F：推 Lanjaja : 谢谢WIND大，我还来不及看懂WIND大後面的证法，但是 09/14 12:12
7F：→ Lanjaja : 加了一些限制条件，也许真的可以得出来？ 09/14 12:12
※ 编辑: WINDHEAD (220.136.83.106 台湾), 09/14/2024 12:29:25