作者XII (Mathkid)
看板tutor
標題Re: [解題] 高二下空間幾何
時間Wed Feb 12 15:00:45 2014
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: : 1.年級：高二
: : 2.科目：數學
: : 3.章節：空間幾何
: : 4.題目：
: : 三角形三邊長分別為5,6,8,三角形內任一點p到達三頂點距離分別為
: : X,Y,Z,求X^2+4Y^2+Z^2的最小值?
: : 5.想法：
: : 本題應該跟柯西不等式有關，但是我找不到X,Y,Z的關係式
: : 麻煩大大幫忙解題
: 設三角形ABC, a=5,b=6,c=8,PA=x,PB=y,PC=z
: 令 AC 中點 M, PM=m
: 由平行四邊形定理知 x^2+z^2=2m^2+18 及 BM^2=71/2
: (4y^2+2m^2)(1/4+1/2)≧(y+m)^2≧BM^2=71/2
: 故 x^2+4y^2+z^2=4y^2+m^2+18≧(71/2)(4/3)+18=196/3
剛剛無聊算了一下
若 α+β+γ>0,
αPA^2+βPB^2+γPC^2 最小為
(αβγ)(a^2/α+b^2/β+c^2/γ)/(α+β+γ)
且此時 P=(αA+βB+γC)/(α+β+γ)
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◆ From: 140.115.31.174
※ 編輯: XII 來自: 140.115.31.174 (02/12 16:07)
1F：推 alamabarry:這~~是通解嗎... 02/12 18:22
2F：→ alamabarry:高手~~你應該有參加過競試吧~~ 02/12 18:23
3F：推 magic83v:好厲害@@ 好奇證明過程 02/12 19:46