作者doa2 (邁向名師之路)
看板tutor
標題Re: [求助] 市長盃數學考題
時間Sat Oct 19 22:57:02 2013
※ 引述《qopop (武田信玄)》之銘言：
: 試求滿足m^2-4n及n^2-4m皆為完全平方數的正整數解(m，n)=?
: 想法：假設m^2-4n=t^2------(1)
: n^2-4m=p^2------(2)
: (1)-(2)==>(m-n)(m+n+4)=t^2-p^2=(t+p)(t-p) 到這邊討論不了
: 然後有想過用奇偶性質來判斷題目 也有很大的困難 麻煩各位老師幫忙
不失一般性 假設m≧n>0
則m^2>m^2-4n≧m^2-4m=(m-3)^2+2m-9>(m-3)^2 (當m≧5)
此時m^2>t^2>(m-3)^2
故t=m-1或m-2
若t=m-1, 則m^2-4n=(m-1)^2=m^2-2m+1 => 2m-4n=1，(m,n)無整數解
若t=m-2, 則m^2-4n=(m-2)^2=m^2-4m+4 => m=n+1，
代入n^2-4m=n^2-4n-4=(n-2)^2-8=p^2
移項得(n-2)^2-p^2=8
(n+p-2)(n-p-2)=8
又n+p-2,n-p-2必同奇或同偶, 且n+p-2>n-p-2
得n+p-2=4 ,-2
n-p-2=2 ,-4
解得n=5, 則m=n+1=6
再討論當0<m≦4的情形時
此時16-4n≧m^2-4n≧0 =>4≧n
又n^2-4n≧n^2-4m≧0 =>n≧4或n≦0
可知n=4為唯一可能, 此時m=4
故得(m,n)=(6,5)或(5,6)或(4,4)
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◆ From: 122.118.7.182
1F：推 qopop:感恩大大 拜讀中 10/19 23:04
2F：推 FATTY2108:神 10/20 04:32
3F：推 KDDKDD:偷偷問一下 (5，6)應該也是一解吧@@" 10/20 07:42
4F：→ ruj9vul3:m要大於等於n 一開頭的假設 10/20 10:06
5F：→ ruj9vul3:但是因為交換沒有差所以(5,6)(6,5)都為解 我想這是需要向 10/20 10:10
6F：→ ruj9vul3:學生解釋的部份 10/20 10:10
7F：→ doa2:對,忘了要對調了 10/20 11:36
※ 編輯: doa2 來自: 122.118.35.184 (10/20 11:36)
8F：→ KDDKDD:不過這種証明法真高明＠＠ 10/20 15:19
9F：→ doa2:找整數解常常就是夾出範圍討論 10/20 15:41