作者LeonYo (僕は美味しいです)
看板tutor
標題Re: [解題] 建中學資幾題習題
時間Mon Mar 12 07:31:36 2012
※ 引述《porkman777 (光頭)》之銘言：
: 1.年級：高二
: 2.科目：數學
: 3.章節：第三冊 向量
: 4.題目：
: 3.求過P(0,0,0), Q(1,1,-2)兩點且與平面2x-y+2z=2的銳交角餘弦值為 1/√3的平
: 面方程式
: 5.想法：
: 第三題我是設這個平面的法向量為(1,y,z), 此法向量與(2,-1,2)的交角餘弦值為
: 1/√3, 而且與向量PQ(1,1,-2)垂直這樣來解二元方程式,想知道有沒有更直接的解
: 法,感恩
令直線PQ與平面E:2x-y+2z=2交於O點(-2/3,-2/3,4/3)
P對於E的投影點P'(4/9,-2/9,4/9)
以OP'線段為直徑，在平面E上作圓，圓上任一點R均有下列性質：
1.∠ORP'=π/2
2.根據三垂線定理,∠ORP=π/2
3.根據定義，∠PRP'即平面OPR與平面E的二面角
依題目條件找出讓此二面角餘弦值為1/√3的R點，即可求出平面OPR，應有二解。
PP'長=2/3，依題目條件知RP長=√2/√3
RP'長=√2/3
RO長=√2
令R(a,b,c)，則 2a-b+2c=2
a^2 + b^2 + c^2 = 2/3
(a-4/9)^2 + (b+2/9)^2 + (c-4/9)^2 = 2/9
(a+2/3)^2 + (b+2/3)^2 + (c-4/3)^2 = 2
解方程組得R後應該可作出平面OPR。
不過求解過程似不若原po及推文作法來得有效率...
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◆ From: 180.176.81.52
1F：推 porkman777:還是感恩，重點是交流思考的過程!! 03/12 19:10