作者linijay (Ajay)
看板tutor
標題[教學] 證明空間中一直線垂直於一平面
時間Mon Feb 13 11:16:11 2012
高中數學第四冊第一章，還沒教到空間中的平面，
課本上提到平面E與直線L垂直的定義是：
L與E交於P，在E上過P的任一條直線都和L垂直。
因為還沒教到平面的方程式，所以法向量的事要下個月再提吧，
我說找兩條在E上且過P的相異直線，證明它們和L垂直，
用直線系的想法就可以了解在E上過P的每一條直線都垂直L。
不料同學沒聽過直線系(不知是否小弟眼拙，它的確不在99課綱裡)，
而且話說出口我才想到，不在xy平面上的直線系怎麼表示，我自己還不知道哩!!
這兩位雙胞胎兄妹也坦白告訴我，他們的空間概念差到不行，
作性向測驗的時候，哥哥得百分位10，妹妹得百分位1(聽說這是最低，沒有0)，
所以如果可以的話我不想先去提平面的法向量，更別說去弄我自己還不清楚的直線系。
請問先進在教到這裡的時候是如何證明一條直線垂直一平面呢?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.62.149.92
1F：推 bala1104:可是他們應該知道平面是由直線組成的吧 02/13 11:34
2F：→ linijay:應該可以說得通吧，接下來還請賜教。 02/13 11:41
3F：→ jollic:你連題目都沒有說要怎麼回答..........如果題目就單純只是 02/13 13:05
4F：→ jollic:"如何證明一條直線垂直一平面"，那就只能說照定義走 02/13 13:06
謝謝指教，題目來了
[範圍]高中數學第四冊1-1，空間概念
[課本]翰林版，99課綱
[題目]一四面體ABCD，ABC與ACD為正三角形，∠BCD為直角，M為BD中點
請證明CM垂直於平面ABD
[想法]以下假設兩個正三角形邊長為1(這不是正四面體喔，只是其中兩面是正△)
1.△BCD為等腰直角，故CM垂直BD於M，且BD= √2，CM=1/√2
2.∵AB=AD=1且BD=√2，∴AM=1/√2
3.∵AM=CM=1/√2 且AC=1，故CM垂直AM於M
4.∵CM⊥BD於M，且CM⊥AM於M，故CM垂直於平面ABD
[問題]課本上寫直線與平面垂直的定義如原文章(見最上面)
我找了平面E上的兩條線和L垂直於同一點，
但並沒有說明到定義中E上的「任一條」過P的直線
其他困難請見原文章。
※ 編輯: linijay 來自: 61.62.94.171 (02/13 14:28)
5F：→ linijay:題目如上，謝謝您。 02/13 14:31
6F：→ linijay:我了解兩相異直線決定一平面，可是對這兩位同學來說，很要 02/13 14:34
7F：→ linijay:求對基本定義的說明，這是他們的算「父訓」吧，連他們的同 02/13 14:35
8F：→ linijay:學都知道他們的父母就是這樣嚴格要求他們的做事態度 02/13 14:36
9F：→ linijay:另一主因是他們用「想」的也不這麼確定這題目成立。 02/13 14:38
10F：→ linijay:目前的狀態是他們買我的帳(相信考試這樣答會有分數)，但是 02/13 14:47
11F：→ linijay:顯然心裡是有一些懷疑。 02/13 14:47
12F：→ jollic:有直覺的話，其實對一般學生證到這邊就算完工了。如果真的 02/13 14:51
13F：→ jollic:希望想嚴謹一點的話，你可以再證一件事情給他們看，"已知兩 02/13 14:52
14F：→ jollic:平面E和F的夾角為90度，交線為L，E上任一不在L上的點P對L的 02/13 14:53
15F：→ jollic:投影點為Q，則PQ線段會垂直平面F" 02/13 14:54
16F：→ jollic:上面那個的證明過程就會包含前述之直線對平面垂直的定義 02/13 14:57
17F：→ linijay:謝謝喔~ 02/14 00:59
18F：推 hrjesus:我想問 講到這個範圍了普通向量應該有講過吧? 02/14 20:08
19F：→ hrjesus:如果直接用 向量的方法應該可以很快速證明出來 02/14 20:08
20F：→ hrjesus:只要垂直這平面上任何兩條直線 其他都可以是這兩個的 02/14 20:08
21F：→ hrjesus:組合 所以也必定垂直 想問這方法可行嗎? 02/14 20:09
22F：→ linijay:空間向量還在後面一點點，不過我方法我也有講，謝謝喔 02/14 23:43
23F：→ hrjesus:不是空間向量的說法 就很一般的向量內積等於零 02/15 01:58
24F：推 ji394vul3m6:這題用畢氏定理就可以證了~ 02/16 10:06
25F：→ ji394vul3m6:阿沒看完原PO想法就推了 請忽略我orz 02/16 10:07
26F：→ linijay:同樣感謝指教~ 02/18 13:52