※ 引述《linsir0825 (咖啡達人)》之銘言： : 1.年級：高二 : 2.科目：數學 : 3.章節： : 排列組合與機率 : 4.題目： : 紅球5個、白球5個、黑球5個，取出不放回。 : 請問：第一次取出紅球的條件下，第三次取到黑球的機率是多少?? : 5.想法： : 這一題真的很簡單，就用條件機率的公式算就算出答案為5/14。 : 但是學生問了我一個問題，他說 : 「第一次已經確定取出紅球了，剩下來的14顆球裡有5顆黑球，所以答案就是5/14 : 老師我這樣算可以嗎？」 ==> 如果是問"第二次"取到黑球的機率為多少， 答案才可以直接照學生的敘述來求， 也就是剩下14顆球中，取到5顆黑球的機率為5/14 但題目問的是"第三次" (不過請繼續看下去，你會發現其實"第三次"取到黑球的機率也是5/14) : 我說：「不行唷，你這樣是不求甚解，算數學不要投機取巧。」 : 可是我回家後自己驗證了一下發現一個現象 : 不管紅白黑的個數有幾個，也不管題目是問第幾次取到黑球的機率 : 學生的算法都是對的，這讓我有點迷惑了 : 如果學生的想法是對的，那是不是以後只要看到這種題目 : 『紅球X個、黃球Y個、黑球Z個，第一次取出紅球的條件下，第N次取到黑球的機率?』 : 我們只要把紅球拿掉一個，然後直接去算拿到黑球的機率 : 即使今天題目便成這樣 : 『紅球X個、黃球Y個、黑球Z個，第一次取出黑球的條件下，第N次取到黑球的機率?』 : 我們一樣可以直接把一個黑球拿掉，然後去算取出黑球的機率 : 以上兩個例子都說明了學生是對的，但是我覺的怪怪的 : 有沒有高手可以解釋一下嗎?? ==> 正確方式不是這樣算，只是正確答案算出來剛好符合這個現象。 最初:5顆紅球 5顆白球 5顆黑球 第一次已知取紅球 求第三次取到黑球的機率: 算法: 第三次取到黑球的情況有兩種: (1)第二次取到黑球，第三次也取到黑球 (2)第二次沒有取黑球，第三次取到黑球 所以正確答案應為(1)發生的機率+(2)發生的機率 (1) 5/14 x 4/13 = 20/(14x13) 第二次取黑球的機率 第三次又取到黑球的機率 (2) 9/14 x 5/13 = 45/(14x13) 第二次不取黑球的機率 第三次取到黑球的機率 所以答案為: (1) + (2) = 20/(14x13) + 45/(14x13) = 65/(14x13) = 5/14 所以你發現若不知道第二次取到什麼球的狀況下， 第N次取到黑球的機率會因為前面有沒有取到黑球而改變， 且算出來的答案剛剛好會符合學生所述的那樣， 但並不代表算法是那樣算唷。 然後要注意第N次取到黑球的N要小於黑球的數量才可以剛好符合這種速算法。 以上，希望有幫助。 --

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