作者austin1119 (對牛彈琴。北極熊。)
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標題Re: [解題] 高一數學多項式觀念題目
時間Tue Oct 26 19:24:03 2010
※ 引述《FATTY2108 (肥好想進台大呀)》之銘言：
: 1.年級：高一數學
: 2.科目：多項式
: 3.章節：９９Ｂ１第二章，或是９５Ｂ１第三章
: 4.題目：
: 甲：請問５是不是ｘ^2－１和ｘ^2＋１的公因式？
: 乙：請問０是不是ｘ^2－１和ｘ^2＋１的公因式？
: 5.想法：
: 真的沒有想法
: 因為觀念題
: 也無算式
: 請各位大大多多指教
: 謝謝
: 以下我認為啦
: 甲：是
: 乙：不是
第一個問題
必需考慮多項式的係數是佈於整數、有理數或是實數
(題目並沒有說清楚)
在實係數多項式環R[x]裡
任何的unit a (即存在乘法反元素a^-1的元素) 都是任意多項式的因式
(這是因為 a * a^-1f(x) = f(x)，即a|f(x) )
又因為R是一個field，其unit即為所有非零常數
所以，5是一個unit (其反元素為1/5) ，故5|ｘ^2－1 且 5|ｘ^2＋1
即5是其公因式
但若是整係數多項式環F[x]裡
5並不是unit (1/5並不是F[x]裡的元素，故不存在5的乘法反元素)
所以5不為ｘ^2－1，也不為5|ｘ^2＋1的因式
當然，不為其公因式
第二個問題
無論是整係數多項式或實係數多項式
0不為ｘ^2－1的因式也不為ｘ^2＋1的因式，故0不為其公因式
: ※ 編輯: FATTY2108 來自: 123.193.214.94 (10/26 18:10)
: 推 jonsauwi:那你為什麼覺得甲是乙不是？這就是你的想法啊～ 10/26 18:39
: 推 superlove305:5可以整除兩者 0不行? 10/26 18:56
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◆ From: 140.122.174.196
※ 編輯: austin1119 來自: 140.122.174.196 (10/26 19:29)
1F：推 shenasu:好久沒碰數論= = 10/26 22:09
2F：推 Jolinfuns:我想沒有高中生聽得懂這個說法= = 10/27 01:34
3F：推 brent43:應該是大部分都聽不懂.... 10/27 01:48
4F：→ austin1119:這是身為老師應知道的，原波不就是二個老師在討論!? 10/27 11:47