※ 引述《DKer ()》之銘言： : 昨天學生問了一題關於餘式定理的問題 : 雖然我解出來了，但是在解釋解題過程的時候卻遇到了瓶頸 : 學生無法理解我是如何看見這個解題路徑的 : 於是來請教各位，是否有深入簡出的解釋方式 : 題目如下： : 已知 f(x)除以x^2+2x+3的餘式為x+12 ; f(x)除以x+1的餘式為-1 : 問f(x)除以(x+1)(x^2+2x+3)的餘式為何? 我自己的習慣是, 從除法算則開始處理 因為 f(x) / g(x) = q(x) ... r(x) 的定義是 f(x) = g(x) q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x) 所以不要想太多, 就當成翻譯題 f(x)除以x^2+2x+3的餘式為x+12 => f(x) = (x^2 + 2x + 3) q1(x) + x + 12 f(x)除以x+1的餘式為-1 => f(x) = (x + 1) q2(x) - 1 所以說 f(x)除以(x+1)(x^2+2x+3)的餘式為何? 設餘式是 r(x), 就表示 r(x) 可能是 2 次、1 次、0 次 f(x) = (x + 1)(x^2 + 2x + 3) q3(x) + r(x) 不過, 不管有幾次, f(x) 除以 (x^2 + 2x + 3) 的餘式 x + 12 一定是來自 r(x) 因為 (x + 1)(x^2 + 2x + 3) q3(x) 一定會被 (x^2 + 2x + 3) 整除 所以 r(x) = (x^2 + 2x + 3) q4(x) + x + 12 不過, q4(x) 最多也只是 0 次, 所以 q4(x) 可以設成常數 a => r(x) = a(x^2 + 2x + 3) + x + 12 所以將 r(x) 代回去 => f(x) = (x + 1)(x^2 + 2x + 3) q3(x) + a(x^2 + 2x + 3) + x + 12 這時候, 我們會發現 f(x) = (x + 1)(x^2 + 2x + 3) q3(x) + a(x^2 + 2x + 3) + x + 12 = (x + 1) q2(x) - 1 將 x 用 -1 代入 f(-1) = ((-1) + 1)((-1)^2 + 2 * (-1) + 3) q3(-1) + a((-1)^2 + 2 * (-1) + 3) + (-1) + 12 = ((-1) + 1) q2(-1) -1 可以得到 a(1 - 2 + 3) + 11 = -1 2a = -12 => a = -6 所以 r(x) = -6(x^2 + 2x + 3) + x + 12 = -6x^2 - 11x - 6 : 講義上的解答是直接令f(x)=(x+1)(x^2+2x+3)Q(x) + k(x^2+2x+3) + (x+12) : 之後用餘式定理f(-1)=-1解出k : 但並沒有解釋這樣假設的原因，我直接看也看不出理由 : 又不希望學生硬背這解題方式，試著推導過程，但學生的接受程度並不高 : 以下是我的講解方式： : 先將第一個條件寫為: f(x) = (x^2+2x+3)Q1(x) + (x+12) : 再觀察最後題目需要的目標: f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q2(x) + r1(x) : 比較之後發現，把Q1(x)拆解成含有(x+1)的式子就跟目標很像 : 於是拆解 Q1(x) = (x+1)Q3(x) + r2(x) 代回式中得 : f(x) = (x^2+2x+3)[(x+1)Q3(x)+r2(x)] + (x+12) : 整理得 f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q3x + (x^2+2x+3)r2(x) + (x+12) : 除式為3次，因此餘式的黃色部份最高2次，得知r2(x)為常數 : 到此為止就推得了講義上的假設 : 我的學生算是中等資質，這樣複雜的推導過程讓他很難吸收 : 請問各位老師有沒有更容易了解的說明方式 : 感謝您耐心地閱讀 拜謝m( _ _)m -- 家教經驗談 & 利用 TeX 編考卷與講義 http://dunst-kang.blogspot.com/ 要轉錄文章的人請注意三件事 1. 請註明出處, 2. 請保留簽名檔, 3. 請發個 mail 讓我知道 我的動態...(要簡單的註冊才能互動)歡迎一起來囉 bbs 型的微型網誌(plurk) http://plurk.com/dunst/invite --

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