※ 引述《allstars (我堅持頭一定要臭!!)》之銘言： : 1.年級： 高二 : 2.科目： 數學 : 3.章節： 計數 : 4.題目： : Q:圓上n個點 點與點之間的連線 最多可將圓分割成幾個區域? : A: C(n,4) + C(n,2) + 1 : 5.想法： : 解題之前 自己畫出來用數的 : 2個點 2個區域 : 3個點 4個區域 : 4個點 8個區域 : 5個點 16個區域 : 6個點 31個區域 : 第7個點開始不好畫 所以沒有畫出來 : 一開始解題 想找遞迴關係 : 從第4個點才會把前三個點之連線所構成之區域再分割 : 所以找 三個點到四個點 四個點到五個點 五個點到六個點之間的關係 : 卻看不出來 : 後來看答案 想從組合數下手 : 看答案的意思應該是每四個點會怎樣 每兩個點又會怎樣 最後又多一個區域 : 可是從圖來看還是找不出關係 : 最後是階差數列 看答案大概應該要算到第三階差數列 : 自己列的數列項數不夠多 加上算到第三階差會非常複雜 : 考試的話 這樣起碼要算個20分鐘 : 想請教板上眾位高手 我該往哪個方向思考?? 先說明～這題如果沒有看到答案可能想老半天也想不出來 不過有了正解就比較好推答案了～ 正解C(n,4) + C(n,2) + 1 首先我們先了解到假如所有的線段都不相交的話 那麼答案應該就是C(n,2) + 1 但是很可惜的這題目每條線段的交線數目都不一樣 於是我們先回想起高中之前曾經有過這樣的題目 一塊蛋糕切n刀最多可以切出幾塊 這題的答案是 1 + 1 + 2 + 3 + ... + n 重點在於每條新的線段只要沒有交點那就是多出一塊面積 新的線段跟之前的線段有相交就會多出一塊面積 所以要最多面積就要每條新的線段都要跟之前的線段相交 所以這邊我們可以將這個事實看成 新的線段會多出幾塊面積就看他有幾個交點 於是正解C(n,4) + C(n,2) + 1 我們可以看成 假設全部的線段都不相交所以答案應該是C(n,2) + 1 但是只要有兩條線相交得到一個交點就會多出一塊面積 於是C(n,4)的部份就是在算總共有幾個交點 因為假設沒有超過兩個線段共點的情況下每四點剛好會產生一個交點 於是就會多出C(n,4)塊面積 答案就會變成C(n,4) + C(n,2) + 1 --

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