※ 引述《Lwms (善用時間)》之銘言： : ※ 引述《Lwms (善用時間)》之銘言： : : 標題: Re: [解題] 數列與級數 : : 時間: Fri Sep 25 17:20:00 2009 : : ◆ From: 140.112.30.55 : : 推 mayturl:我記的我大學教授跟我說過 無窮大不能拿來做數學運算 09/25 19:44 : : → mayturl:所以設了X之後 基本上後面的運算都是不合理的 09/25 19:45 : 這句話是對的，但是這樣原題不是這樣錯的。 : 這也是我為什麼畫蛇添足的發文的關係，這樣算法錯跟無限大不是直接原因！ : 如同 : 0.99999 ... = x : 9.99999 ... = y : 相減 9.999... - 0.9..... = 9 : 重點是在沒有一個定理或推論告訴我們 : 兩個無窮級數相減 等於 個別項的相減(*)，所以把兩項相減的時候，就錯了。 : 就算算出來答案是對的，是收斂的，也不對。 : (*) 因為定理是說 兩個收斂無窮級數相減 等於 個別項的相減 : 在沒有證明、說明 0.9... 收斂 且 9.9 ... 收斂 的時候 : 就不能相減 ^^^^^^^^^^ 同意這句話 : 更有其他的例子 : 1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 ... 是收斂的 : 但是你把他亂排之後就不一定收斂了，因為亂排不是對一般無窮級數合理的操作 : 我想強調的是 錯的原因出在，對級數套用了不合法的操作 而非先知答案是無限大 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 這才是原因 --- 我覺得這樣解釋怪怪的 因為發散的冪級數本來就不會滿足 極限的 加減乘除 等運算 所以不論作何運算都是錯的 例如以原po所出的例子 : 1 + 2 + 4 + 8 + .... = 1 + (2 + 4 + 8 + ...) 這步就有問題了 因為: n k n k lim Σ 2 = lim { 1 + Σ 2 } n→∞ k=0 n→∞ k=1 n k = lim {1} + lim { Σ 2 } ____(1) n→∞ n→∞ k=1 極限有個定理告訴我們: lim {a_n + b_n} = lim {a_n} + lim {b_n} _____(2) n→∞ n→∞ n→∞ 成立條件是以上的極限值都要收斂 ∞ k 但很明顯 (1) 式的 Σ 2 發散 k=1 因此不能把 1+2+4+8... 拆成 1+(2+4+8+...) --- 至於 Lwms 大你舉的例子是合法的 _ n 9 9.9 = lim { Σ ____ } ---> 可證明該極限收斂 n→∞ k=0 10^k n 9 = lim { 9 + Σ ____ } n→∞ k=1 10^n n 9 = lim {9} + lim { Σ ____ } ____ by (2) n→∞ n→∞ k=1 10^n _ = 9 + 0.9 _ _ 即 9.9 - 0.9 = 9 若您想用個別項相減解釋也行 交大微積分考古題有考一題計算與證明: ∞ n Let r1 and r2 be the radii of convergence of the series Σ a_n*x n=0 ∞ n and Σ b_n*x , respectively. What can you say about the radius n=0 ∞ n of convergence of Σ (a_n + b_n)*x ? Use proofs and ... n=0 這題答案應該是 r = min{ r1 , r2 } (它沒給解答 ＝＝) 　　證明用極限的概念應該就可以寫出來了 　　若有了上面的 Lemma _ _ 9.9 與 0.9 皆落在收斂區間 |x|<1 (都是 x=1/10) _____ 因此 9.(9-9) 也會收斂 , 只要能說明該定義域上的點，有在新的收斂區間上 --------------------------------我是分隔線------------------------------------- 　　我在這裡歸納兩點: <1> 極限值 vs 函數值: 我覺得問題出在於高中很少強調這個定義: ∞ n lim S_n ≡ Σ a_k for S_n = Σ a_k n→∞ k=0 k=0 雖然一開始有提 　　但接下來就引進無窮等比級數的公式: 1 1 + r + r^2 + ... = _____ for |r|<1 1 - r 　　很少會有高中老師去強調 : " 1/(1-r) 是極限值 ，而非函數值 " 例如我用 Lwms 大 舉的例子: _ 0.9 = 1 正確的解釋是: 當小數點下的 9 寫的越多， "該值會越趨近於 1" _ 所以 0.9 = 1 ----> 這是指 極限值為1 _ 那 0.9 的值是多少? 正確來說是未定義 　　因為由極限定義可知 　　極限值只看該點的鄰域，而非該點本身 　　所以才有函數的連續與不連續的概念 說這個是因為 　　不少人把極限值當成函數值看待 　　也就是 " 用值的運算　套用於　極限值的運算 " 但 " 未註明收斂 or 收斂區間 " 　　以前在數學上會有很多悖論 　　部份就是涉及無窮的概念 　　因此才有 limit 這個概念出現來解決這些 "似對非對" 的問題 　　所以一旦涉及到無窮的概念 　　數學家都已經幫我們解決好了 　　套 lim 定義看就對了 :) <2> 極限值的意義: 說穿了就是看 "趨近程度為何" 例如以原po給的無窮級數 　　雖然是發散級數 　　但對某些在 複數 下 define 的無窮級數來說 可能為了要讓某些區間可以 analytic 所以在套 lim 時會發現某些無窮級數有 "這個特性" 　　即使在實數系下為發散級數 　　例如微基百科上舉的例子: 1 + 2 + 3 + 4 + .... = -1/12 實數系下討論此無窮級數，肯定是發散 　　但對複數系來講可能有很多種答案 　　那要如何去解讀此式子呢? (1) -1/12 是極限值，非值 ∞ -z (2) 在複數下朝某些方向逼近 ，會發現 Σ n*n 會越趨近於 -1/12 n=1 ∞ -z 即 lim { Σ n*n } = -1/12 z→0 n=1 z屬於 some curve C 我自己是沒學過這函數 沒嘗試去推過該值是如何得到 　　但由上面去解讀 　　就會覺得這個無窮級數的極限值寫的 "很自然"　了 :) --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151 ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (09/26 16:45)