※ 引述《AIKobeLBJ (三大戰神)》之銘言： : 題目： : 二元二次方程式 ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 : 可根據判別式b^2-4ac來判斷其為什麼圖形 : <0 : 橢圓類 : =0 : 拋物線類 : >0 : 雙曲線類 : 請問為何判別式是b^2-4ac? : 又為何<0為橢圓, =0為拋物線, >0為雙曲線? : 想法： : 若為一元二次方程式ax^2+bx+c=0, : 可得 x= (-b ±√b^2-4ac ) / 2a , : b^2-4ac在√裡面, 可以拿來當判別式, : 把解分類為兩解,一解,無解, : 不過若是二元二次要怎麼解釋判別式是b^-4ac呢? : 也是把它配成有√b^2-4ac嗎? : 另, 一元二次可解釋為與x軸(y=0)相交的情形, : 分為兩點,一點,沒交點, : 二元二次要怎麼解釋它的分類呢? : 謝謝~ 用寫的比較好觀察 關於ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 的研究 ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 取a>0 先直接就X配方 => a[x+(by+d)/2]^2+cy^2+ey+f-(by+d)^2/4a=0 => (2ax+by+d)^2+(4ac-b^2)y^2+(4ae-2bd)y+(4af-d^2)=0 從這邊就看出來了 b^-4ac<0 : 橢圓類 =0 : 拋物線類 >0 : 雙曲線類 令P=4ac-b^2 Q=4ae-2bd R=4af-d^2 原式 (2ax+by+d)^2+Py^2+Qy+R=0 (2ax+by+d)^2+P(y+Q/2P)^2=(Q^2-4PR)/4p 其中(Q^2-4PR)=0 時後表退化 Q^2-4PR=(4ae-2bd)^2-4(4ac-b^2)(4af-d^2) =-8a(8acf+2bde-2cd^2-2ae^2-2fb^2) =-8a| 2a b d | 令δ=| 2a b d | | b 2c e | | b 2c e | | d e 2f | | d e 2f | 一個對稱行列式 這個行列式是第二個判別式 用來判別退化嗎? 還有最後一個判別是T用來判別拋物線的 P=0 原式 (2ax+by+d)^2+(4ae-2bd)y+(4af-d^2)=0 當4ae-2bd=0 表退化圖形 4af-d^2<0 表兩平行線 =0 表一直線 >0 表空集合 原則上就是這樣 符號有錯的話自己推導一下 我怕輸入的時候輸入錯 謝謝 --

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