作者mathsun (數戰數決)
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標題[解題][高二數學] 最長截弦必過圓心? 最長截弦必為直徑?
時間Thu Dec 18 16:00:26 2008
1.年級：高二
2.科目：數學
3.章節：3-2 圓與直線的關係
4.題目：圓C: x^2 + y^2 -2x -2y -k = 0
直線L: 2x - y + k = 0
若圓C被直線L所截,求截弦長度最長為何?
5.想法：
將圓配方 => (x-1)^2 + (y-1)^2 = k + 2
所以圓心O(1,1),半徑r = 根號(k+2)
法一: 利用"最長截弦必過圓心 or 最長截弦必為直徑"知
圓心O(1,1)代入直線L
=> 2 - 1 + k = 0
=> k = -1
=> r = 根號(-1+2) = 1
=> 最長截弦 = 圓直徑 = 2r = 2
|1+k|
法二: 令 d = 圓心O(1,1)到直線L的距離 = -------
根號5
利用"截弦長"公式
截弦長 = 2倍根號(r^2 - d^2)
2 3 45
= -------倍根號[-(k - ---)^2 + ----] ... (化簡,配方)
根號5 2 4
小於等於 3
3
故當 k = --- 時有最長截弦長 3
2
=====================================================================
3
法二中: 直線L: 2x - y + --- = 0
2
=> 直線L: 4x-2y+3=0
7
此時圓C: (x-1)^2 + (y-1)^2 = ---
2
圓心O(1,1)不在直線L上,且直徑為 根號14,不為最長截弦長
法一和法二算出來的答案不一樣,請問問題出在哪裡呢? 謝謝指教!
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◆ From: 163.16.236.16
1F：推 linsir0825:你在法一中就先假設"直線L會經過圓心"..這裡有問題 12/18 16:12
2F：推 swinds24:同意樓上，k也有在圓的方程式中，圓的大小也會隨之改變的 12/18 16:55
3F：→ swinds24:小圓和該線的最長截距有可能會比該線和大圓的截距短!! 12/18 16:58