作者ALiu (柳葉寒)
看板tutor
標題[解題] 三角函數求極值
時間Sat Oct 4 01:28:10 2008
1.年級：高一
2.科目：數學
3.章節：高一下第三章三角函數
4.題目：
f(x)=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)
前面小括號是分子 後面的小括號是分母
題目要問這個分式的最大值和最小值
5.想法：
我令sinx+cosx=t => sinx*cosx=(t^2-1)/2
f(x)=(t^2-1)/(2+2t)
然後我令y=(t^2-1)/(2+2t)
化簡後得到t^2-2yt-(2y+1)=0
因為t是實數
所以上面的方程式有實跟
=> (2y)^2+4(2y+1)>=0
展開後得4y^2+8y+4>=0
y^2+2y+1>=0
(y+1)^2>=0
所以y屬於R
這樣不就表示原式不存在最大值跟最小值?
可是答案給最大值為[(根號2)-1]/2
最小值為-[(根號2)+1]/2
看了半天看不出來我哪裡算錯或是推倒有誤
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◆ From: 61.229.148.188
※ 編輯: ALiu 來自: 61.229.148.188 (10/04 01:30)
1F：推 alamabarry:t有範圍阿～～正負根號2 10/04 01:32
2F：→ zzzxxxqqq:(t^2-1)/(2+2t) = (1/2)*(t-1) -√2 < t <√2 10/04 01:33
3F：→ ALiu:我知道t有範圍...可是這應該不影響推倒判別式大於等於0吧? 10/04 01:35
4F：→ zzzxxxqqq:y = t^2 ,t^2 - y = 0 ,D = 4y >= 0 y>=0 10/04 01:43
5F：→ zzzxxxqqq:我限制 0 < t < 1 則 0 < y < 1 10/04 01:44
6F：推 alamabarry:f(x)=(t^2-1)/(2+2t)=(t-1)/2 10/04 01:47
7F：→ alamabarry:你寫的過程有個推論怪怪的～～因為t有範圍 10/04 01:48
8F：→ alamabarry:沒辦法用判別是去決定出Y的範圍 10/04 01:49
9F：→ alamabarry:t有特定範圍 應該比t為實數更加限定 10/04 01:49
10F：推 shtmn:錯誤在這兩個答案要取交集而不是聯集 10/04 01:54
11F：→ ALiu:恩恩...中間我沒注意到分子分母有公因式可以約掉 10/04 01:55
12F：→ ALiu:所以y=(1/2)*(t-1) =>(-根號2)<=t=2y+1<=(根號2) 10/04 01:56
13F：→ ALiu:這樣就可以定出y的範圍了... 10/04 01:57
14F：→ ALiu:感謝大家的幫忙 10/04 01:57
15F：→ zzzxxxqqq:說實在函數判別式求範圍真的很不實用，以後微積分學好點 10/04 01:59
16F：→ zzzxxxqqq:就結束了 10/04 01:59
17F：→ ALiu:不過高一教到這邊的時候應該都只能用這樣的方式來做吧? 10/04 02:05
18F：→ zzzxxxqqq:當然我只是想說他不重要,高中解題目的小棋子而已 10/04 02:07
19F：推 leonwingic:<80年夜大甲丙組> 10/04 05:25