去年甲種數學多選第5題： 5. 設P(x)是一個五次實係數多項式。若P(x)除以(x-3)的餘式是2，且商Q(x)是一個係數 均為正數的多項式，試問下列哪些選項是正確的？ (1) P(x)=0與Q(x)=0有共同的實根 (2) 3是P(x)=2唯一的實根 (3) P(x)不能被(x-4)整除 (4) P(x)=0一定有小於3的實根 (5) P(x)除以(x-3)(x+3)的餘式也是2 我的解法如下：不知道我這樣講對不對? 令P(x)=(x-3)Q(x)+2，[又令Q(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e又a、b、c、d、e皆>0] (1)∵Q(x)=0時P(x)必定=2，∴滿足Q(x)=0並沒辦法同時滿足P(x)=0，P(x)與Q(x)根本 不會有共同實根。 (2)舉個反例：若P(x)=(x-3)．(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+2，則x=3並不一定是P(x)=2的 唯一實數根 (3)P(4)=1×Q(4)+2，∵Q(x)的所有係數都>0，∴x以任何正數代入Q(x)肯定會使Q(x)>0 ，因此Q(4)>0→P(4)>0，故P(x)肯定不能被(x-4)整除 (4)P(0)=-3Q(0)+2=2-3e→若要使P(0)=0，Q(0)=e=2/3即可 (5)舉個反例：若P(x)=(x-3)．(x+1)^4 + 2，則P(x)=(x-3)(x+3)．(x^3+x^2+3x-5)+ (16x-46) 餘式為(16x-46)，根本不是2!!! 所以本題應該選(3)、(4) ........................................................................... 今年乙種數學選填題第A.題 A. 趙氏與錢氏兩對夫婦、以及孫先生、李先生圍坐一個六人座圓桌吃飯，其中趙 先生和孫先生已在兩個相鄰的位子坐定。若限定夫妻不得相鄰，則其他四人就 座的方法共有多少種? 請問為什麼是十種方法? --

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