作者Eliphalet (蘇格蘭狗餅)
看板trans_math
標題Re: [多變] 極值
時間Mon Sep 21 08:43:40 2015
※ 引述《SamBetty (sam)》之銘言：
: 題目：
: n 2 n p
: (a) Find all extrema of f(x) = Σ x subject to the constraint Σ |x | = 1,
: k=1 k k=1 k
: where p > 1.
初微的話，可用 Lagrange multiplier method，稍微計算後可知
極大值為 1
1 < p < 2 時
極小值為 n^(1-2/p)
p = 2 時 極大值 = 極小值 = 1
極大值 n^(1-2/p)
p > 2 時
極小值 1
: (b) Prove that there exist constants a , b , depending on n, such that for any
: n n
: real vector x = (x , x ,..., x )
: 1 2 n
: n p 1/p n 2 1/2 n p 1/p
: a (Σ |x | ) ≦(Σ x ) ≦b (Σ |x | ) ,
: n k=1 k k=1 k n k=1 k
: where 1≦p≦2. Find optimal a and b .
: n n
: 比較有問題的是(b)小題，感覺和(a)小題有關，但我不知從何下手。請問要如何解？
: 謝謝！
類似於 (a) 的作法，可看限制於 \| x \|_p = α ≧ 0，且 1≦p≦2 時
\| x \|_2 其極值為何
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1F：推 SamBetty : 感謝！ 09/21 14:26
2F：→ yyc2008 : 限制是絕對值 能夠微分嗎? 09/21 22:44
對 p > 1 ， d/dt |t|^p = p sgn(t) |t|^(p-1)
※ 編輯: Eliphalet (114.46.205.84), 09/21/2015 22:53:27
3F：→ yhliu : |t|^p 只是在 t = 0 時可能不能微分, 在他處均可微. 09/23 08:51
第一題給的條件有 p > 1 ，連 t = 0 都可微
※ 編輯: Eliphalet (114.46.212.176), 09/23/2015 10:06:49
4F：→ yhliu : 我知道 p>1 時 |t|^p 處處可微. 09/24 14:51