作者Eliphalet (銀河系５大行星侵略者)
看板trans_math
標題Re: [積分] 求助，一題100次方的積分。
時間Thu Mar 19 21:25:15 2015
※ 引述《BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴)》之銘言：
: ※ 引述《sallytai (SallyTai)》之銘言：
: : 2
: : 1.∫───── dx
: : x(x+1)^100
: : 我目前的想法:
: : 利用u置換，u=x+1。
: : 2
: : 變成→ ∫───── dx
: : u^100(u-1)
: : --
: : 推 keith291 : Hint: 1/u^100(u-1)=(1/u^99)(1/ u(u-1) ) 03/19 16:19
: : → keith291 : 又1/ u(u-1) = 1/(u-1) - 1/u 拆成兩個積分可降次 03/19 16:20
: 1 1 1
: 2 ∫(------)[------- - --- ] du
: u^99 (u-1) u
: 1 1 1 1
: = 2 { ∫(------)[------- - --- ] du + -------- }
: u^98 (u-1) u 99u^99
: = ... 可以一直化減 ...
: 1 1 1 1-u
: = 2 [ -------- + -------- + ... + --- + ln(-----)] + C
: 99u^99 98u^98 u u
下面這個稍微是簡化一點的版本
n-1 1 - (x+1)^(-n)
考慮等比級數 1/(x+1) + Σ (x+1)^(-k-1) = ───────────
k=1 x
1 1
= ─── - ─────
x x*(x+1)^n
n-1 1 1
同時對兩邊積分得到 ln|x+1| - Σ --- (x+1)^(-k) = ln|x| - ∫--------- dx + C
k=1 k x(x+1)^n
因此可以得到
2 n-1
∫ ---------- dx = 2 * [ln|x| - ln|x+1| + Σ (1/k)(x+1)^(-k) ] + C
x(x+1)^n k=1
C 為常數
最後一步就是把 n 代入 100 即可
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1F：→ yyc2008 : 第一個等號=(1 - (x+1)^(-n) )/x 03/20 02:16
謝啦，不然這個 typo 會讓第二個等號根本兜不起來...
※ 編輯: Eliphalet (114.46.220.79), 03/20/2015 06:27:59