※ 引述《skyghostlove (Chris)》之銘言： : 各位好: : (1) : 1 : g(x)= sin──, x≠0 : x : 0 , x＝0 : 則g(x)在x=0處是否連續?說明之. : (2) : 1 : f(x)= xsin── ,x≠0 : x : 0 ,x＝0 : show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0. : 剛碰到證明題,不知該如何下手? : 煩請高手解說. : 另外一問,請問證明比較多的書籍,可否推薦? : 謝謝. 照著上述大大所提示,我證明的方式如下,煩請指正錯誤 (1) 1 lim sin(──) x→0 x 1 -1<sin(──)<1 x lim (-1)=-1 - x→0 lim (1)=1 + x→0 1 因此lim sin(──)不存在 x→0 x 1 又lim sin(──)≠g(0) x→0 x ∴故f(x)在x=0處不連續. 1 sin(──)-f(0) x f'(x)=lim ─────── x→0 x-0 1 sin(──) x =lim ─────── x→0 x 1 -1<sin(──)<1 x 1 sin(──) 1 x 1 -── < ────) < ── x x x 1 lim (-──)=∞ - x x→0 1 lim (──)=∞ + x x→0 ∴g(x)在x=0處不可微分. ---------------------------------------------- (2) 1 lim xsin(──) x→0 x 1 -1<sin(──)<1 x 1 -x< xsin(──)< +x x lim (-x)= 0 - x→0 lim (x) = 0 + x→0 1 因此lim xsin(──)=0存在 x→0 x 1 又lim xsin(──)=f(0)=0 x ∴故f(x)在=0處連續. 1 xsin(──)-f(0) x f'(x)= lim ──────── x→0 x-0 1 xsin(──) x = lim ──────── x→0 x 1 =lim sin(──) x→0 x 1 -1<sin(──)<1 x lim -1 =-1 - x→0 lim 1 = 1 + x→0 ∴f(x)在x=0處不可微分. 以上這樣寫分數都會拿到嗎? 還是要補充哪些? 謝謝. --

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