※ 引述《qwsx51166 (bboyJ)》之銘言： : 想請問極限的兩種情況我不太清楚 : 　　　　　　　1 1 　 1 : 例1: ｌｉｍ｛---+ ---+ .... + --- ｝ : 　　 n->∞ n+1 n+2 n+n : 這題雖然每項都接近０ : 但他有無限多項　所以不能都看成０ : 要用黎曼和求解 之所以不行 是因為你不知道這無限多個無窮小 會不會逐漸累積成一個可觀的數 譬如說你有 1/n＋1/n＋...＋1/n n個 1/n n趨近到無窮大 很明顯加起來是1 如果你有n^2個 1/n 你就會看到這些無窮小加起來以後是無窮大 但如果你有n個 1/n^2 那便會是無窮多項無窮小 加起來還是無窮小 所以我們的結論是說 光由「無窮多項無窮小」這件事 我們看不出什麼 : sin(x) : 例2: ｌｉｍ｛--------｝如果用級數法展開 : 　　 x->0　 x : 2 4 : x X : 　　= ｌｉｍ｛1－---＋---+.....｝= 1 : 　　 x->0　　 3! 5! : 為什麼用級數法後面那些無限項可以直接看成０? : 請大大幫忙解惑 謝謝!! 這是因為 不會有累積的問題 為什麼不會有累積的問題 是因為每後一項都是更高階的無窮小 像那個第三項 x^4/5! 它是第二項的 x^2/20 倍 遠遠遠地比第二項還小 因為x非常非常小 至於第四項 又遠遠遠地比第三項還要小 所以根本就累積不起來 如果你一時還是難以接受它累積不起來 那我們這樣講 2 a ＋a x ＋a x ＋ ... , x->0 0 1 2 把它看成 2 a ＋ x (a ＋ a x ＋a x ＋ ... ) 0 1 2 3 我們來看括號的部份 第n項是前一項的 a_n/a_(n-1) x 倍 有限數a_n/a_(n-1)乘上無窮小x 我們知道 如果每一項都是前一項的r倍 , -1<r<1 那麼就會是一個收斂的級數 而a_n/a_(n-1) x 當然是非常接近0 距離1或-1很遠 所以更會收斂 不管這個括號收斂到多少 反正就是某個有限的數 x乘上有限的數 收斂到0 所以 2 a ＋a x ＋a x ＋ ... , x->0 0 1 2 這東西就收斂到a 0 --

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