作者yuyumagic424 (油油麻雞客)
看板trans_math
標題Re: [極限] 99中正
時間Mon Apr 8 23:52:47 2013
※ 引述《EggAche (蛋疼)》之銘言：
: 1 + 2^(1/2) + 3^(1/3) + ... + n^(1/n)
: 求 lim ---------------------------------------
: n->∞ n
1/n
由於 lim n ＝ 1
n→∞
1/n
所以從 1 到 n 的平均 n 又趨近到無限大
這個想也覺得也是 1
1/k
因為 k 夠大的時候 k 和 1 會是非常非常靠近的
當然 作答不可以說用想的
任給ε＞0 , 存在 N ＞0 使得
1/n ε
只要 n ＞ N , 則 1＜ n ＜ 1＋─
2
所以當 n＞N 時
│ 1/2 1/N 1/(N+1) 1/n │
│ 1＋2 ＋...＋N ＋ (N＋1) ＋ ... ＋ n │
│─────────────────────── － 1 │
│ n │
│ 1/2 1/N 1/(N+1) 1/n │
│(1－1)＋(2 －1)＋...＋(N －1) ＋ ((N＋1) －1) ＋ ... ＋ (n －1) │
＝│───────────────────────────────── │
│ n │
1/2 1/N 1/(N+1) 1/n
(1－1)＋(2 －1)＋...＋(N －1) ((N＋1) －1) ＋ ... ＋ (n －1)
＝ ─────────────── ＋ ─────────────────
n n
1/2 1/N
(1－1)＋(2 －1)＋...＋(N －1) ε(n－N)
＜ ─────────────── ＋ ────
n 2n
1/2 1/N
(1－1)＋(2 －1)＋...＋(N －1) ε
＜ ─────────────── ＋ ─
n 2
左邊那一項的分子是有限的數
因此我們必可找到 M ＞ 0 使得
只要 n ＞ M , 則
1/2 1/N
(1－1)＋(2 －1)＋...＋(N －1) ε
─────────────── ＜ ─
n 2
因此只要 n ＞ N,M 兩數 , 則
│ 1/2 1/N 1/(N+1) 1/n │
│ 1＋2 ＋...＋N ＋ (N＋1) ＋ ... ＋ n │
│─────────────────────── － 1 │
│ n │
1/2 1/N
(1－1)＋(2 －1)＋...＋(N －1) ε
＜ ─────────────── ＋ ─
n 2
ε ε
＜ ─ ＋ ─ ＝ ε
2 2
--
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◆ From: 140.112.233.127
1F：推 BaBi:中正這題真漂亮 140.120.19.2 04/09 09:30
2F：→ znmkhxrw:這題就像y大講的是用cesaro summation吧? 1.171.21.147 04/09 09:50
3F：→ znmkhxrw:(y大是指原篇那個)剛剛看了一下 這個y大 1.171.21.147 04/09 09:51
4F：→ znmkhxrw:就是證一次cesaro 1.171.21.147 04/09 09:51
5F：推 Sumino:推專業 跟我這只會解題的不同XD 1.172.93.116 04/09 11:19
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