作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板trans_math
標題Re: [積分] 問一題不知從何下手的積分~!
時間Mon Apr 1 13:38:38 2013
※ 引述《winter5690 (bbv)》之銘言：
: 請教各位大大
: f(X)=對(1-x^2)^5 五次微分, find 從0~1之f(x)^2的積分?
: 感謝!!
---
提供原po 一個初微做法
令 H(x) = (1-x^2)^5
分別對 H(x) 取 x=0 與 x=1 的 taylor series:
<1> when x=0
5 5 n 2n
H(x) = Σ C *(-1) *x by 二項式定理
n=0 n
(n)
^ ∞ H (0) n
= Σ ─── x by taylor series
n=0 n!
比較係數後可得:
┌ 0 if n:odd or n>10
(n) │
H (0) = │
│ 5 n/2
└ C * (-1) * n! if n:even
n/2
<2> when x=1
5 5
H(x) = (1-x) *(1+x)
5 5
= (1-x) * [(x-1) + 2]
5 5 5 5-n n
= -(x-1) * Σ C * 2 * (x-1)
n=0 n
As the same mechanism
┌ 0 if n<5 or n>10
(n) │
H (1) = │
│ 5 10-n
└ C * 2 * n! if 5 <= n <= 10
n-5
===========
回到原始定積分
1 2 1 (5) (5)
∫ f dx = ∫ H * H dx
0 0
(4) (5) (3) (6) (2) (7) (1) (8) (9) 1 (10)
= H H - H H + H H - H H + HH - ∫ HH dx
0
└ ......................................... ┘
註 (1)
1
= 10! *∫ H dx
0
= 10! * (1 - 5/3 + 10/5 - 10/7 + 5/9 - 1/11)
剩下請自行化簡
註 (1):
(p) (q)
裡面的每一個 term u(x,p,q) = H H 中
因為 p + q = 9, 可知 p、q 必一奇一偶, 所以 u(0,p,q) = 0
相似的推論, p 或 q 必 一數小於等於5, 所以 u(1,p,q) = 0
若不清楚的話
(n) (n)
可以 cross check H (0) 和 H (1) 等於 0 的條件
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◆ From: 175.98.124.34
1F：推 jack7775kimo:推~140.114.236.100 04/02 00:00