作者BaBi (卑鄙)
看板trans_math
標題Re: [考古] 多重積分求體積和表面積
時間Fri Sep 14 10:51:18 2012
※ 引述《winter5690 (bbv)》之銘言：
: 各位大大安安
: 想請教各位大大這幾個題目
: 1. 就是求兩相交圓柱
: y^2+z^2=a^2和x^2+z^2=a^2共同部分之區域表面積
: 答案是16a^2
: 但是我覺得為何不是8a^2呢
16a^2無誤，通常差個倍數大概是你計算過程有誤，
直接貼出來給大家看比較實在，
答案不是你覺得多少就多少…
: 還有一題
: =--
: 2. 球面x^2+y^2+z^2=2a^2和拋物面az=x^2+y^2所為的體積?
: 最後一題就是
求其交面發現投影至 x-y 平面為一半徑 a 之圓
令 x = a cos(t)
y = a sin(t) , 0 ≦ t ≦ 2π
z = a
R = {(r ,θ,z ): 0≦r ≦a , 0≦θ≦2π, r^2/a ≦z ≦√(2a^2 - r^2)}
V = ∫∫∫dv = ∫∫∫r dr dθdz
R R
= ∫∫(√(2a^2 - r^2 ) - r^2/a ) r dr dθ
R
a
= 2π ∫ r (√(2a^2 - r^2 ) - r^2/a) dr
0
= πa^3 (8√2 - 7) / 6
: 3. 球由拋物面xy=1/xy=9/xz=4/xz=36/yz=25/yz=49所圍之區域體積
: 要如何求呢?其ans:64
: 懇求各位高手幫忙解一下囉!!
: 十分感恩感恩~THANKS
: !!^---^
令 u = xy
v = xz
w = yz
R = {(x,y,z): x > 0, v > 0, z > 0, 1≦xy≦9, 4≦xz≦36, 25≦yz≦49}
= {(u,v,w): 1≦u ≦9, 4≦v ≦36, 25≦w ≦49}
then V = ∫∫∫dv = ∫∫∫dxdydz = ∫∫∫J dudvdw
R R R
1
= ∫∫∫---------------- dudvdw
R 2 (uvw)^(1/2)
1 9 du 36 dv 49 dw
= --- ∫-------- ∫ -------- ∫ --------
2 1 u^(1/2) 4 v^(1/2) 25 w^(1/2)
= 4 ( 3 - 1 )( 6 - 2 )( 7 - 5 )
= 4 * 2 * 4 * 2 = 64
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