作者BaBi (卑鄙)
看板trans_math
標題Re: [積分] 求一題積分
時間Wed Sep 12 00:44:48 2012
※ 引述《winter5690 (bbv)》之銘言：
: 恩恩
: 的確是1/(1+sinx)^1/2的積分沒錯
愚笨的土法煉鋼...
1
∫-------------------- dx
( 1 + sinx )^(1/2)
Let t = tan(x/2)
1 2
原式 = ∫---------------------------- * ------- dt
[ 1 + ( 2t/1+t^2 ) ]^(1/2) 1+t^2
2
= ∫------------------------------------- dt
( t^4 + 2t^3 + 2t^2 + 2t +1 )^(1/2)
2
= ∫---------------------------- dt
( 1 + t )( t^2 + 1 )^(1/2)
再令 t = tan(s)
sec^2(s)
原式 = 2 ∫--------------------- ds
[ tan(s) + 1 ] sec(s)
sec(s) 1 / cos(s)
= 2 ∫------------ ds = 2 ∫----------------------------- ds
tan(s) + 1 [ sin(s) + cos(s) ] / cos(s)
1
= 2 ∫----------------- ds
sin(s) + cos(s)
= 2^(1/2) ln| csc( s + pi/4 ) - cot( s + pi/4 ) | + c
其中 s = 2/x
1F：→ yhliu:1+sin(x)=1+cos(π/2-x)=2cos^2(π/4-x/2)111.252.127.94 09/12 00:37
如果用 y 大說的換掉的話
sec( pi/4 - x/2 )
原式 = ∫--------------------- dx
2^(1/2)
= -2^(1/2) ∫sec( pi/4 - x/2 ) d( pi/4 - x/2 )
= -2^(1/2) ln | sec( pi/4 - x/2) + tan( pi/4 - x/2 ) | + c
快上不少, 受教了Orz
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◆ From: 114.46.142.20
※ 編輯: BaBi 來自: 114.46.142.20 (09/12 01:02)
2F：→ doom8199:要考慮根號... 180.177.10.54 09/13 10:35
3F：→ BaBi:d大是指(cos^2)^(1/2)要考慮cos < 0的狀況吧? 114.41.135.7 09/13 11:14
4F：→ BaBi:是我的疏忽Orz 114.41.135.7 09/13 11:15