其實 RAINDD 講得很對 λ的正負號...扮演著極為重要的角色！！ 簡單的嘗試看看這題就知道了： min x s.t. x^2 - 4 < = 0 很值觀可以看得出來 最大值在 x = 2 最小值在 x = -2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ min f(x) s.t. g(x) < = 0 的 KKT Condition 有三組: (1) dL/dx = 0 (2) λg(x) = 0 (3) λ > = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 套用到例題中： f(x) = x g(x) = x^2 - 4 L(x) = x + λ( x^2 - 4 ) (KKT 1) dL/dx = 1 + 2λx = 0 => x = -1/(2λ) (KKT 2&3) λg(x) = 0 => Case1 : λ= 0 (內點) & g(x) =/= 0 λ = 0 => x = -1 / 0 (不存在 / 或是說，超越了 g(x)<0 的限制範圍) (不過，眼尖的人應該不難發現，這個 x = -1/0 = -Inf 這...正好是無限制條件下 min x 的正解...從這邊也可以看出 當 λ = 0 時...所解出來的...就正好會是無限制條件的狀況...) Case2 : λ>0 (邊界撞到) & g(x) = 0 所以可以把 x = -1/(2λ) 帶入 g(-1/(2λ)) = 0 可以解出 λ = 1/4 or -1/4 分別對應到 x = -2 or 2 剛好一個是最大值一個是最小值！ 這不是巧合...不然 KKT 就不用加上第三條要求 λ > = 0 了 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 如果把題目換一換 min x^2 s.t. x^2 - 4 < = 0 L(x) = x^2 + λ( x^2 - 4 ) (KKT 1) dL/dx = 2x + 2λx = 2x(1+λ) = 0 => x = 0 or λ = -1 (KKT 2: λg(x) = 0 ) 告訴我們 Case1 : 如果 x = 0 => g(0) = -4 =\= 0 => λ = 0 (這代表...在g(x) <= 0 的內點，不在邊界) Case 2: 如果 λ = -1 =\= 0 (這代表...撞到 g(x) 的邊界...不再內點...) 則 g(x) = 0 => x = 2 or -2 事實上...這兩個點都是最大值 而非題目要的 最小值！！ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 在這兩個例子中，我們可以很清楚地感覺到 λ 所扮演的角色 當 λ = 0 的時候，就代表 g(x) < = 0 這個限制 並不會影響到 f(x) 求極值 而當 λ =\= 0 的時候...就代表限制式產生了一些影響力 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 真正的解讀上...可以從兩個方向來思考 (1) 可以讓 f 變更好的方向 (2) 可以走的方向 如果 f 是可微分的，不論單變數或多變數... 基本上就是 讓 < Df , d > 內積小於 0 的方向 d 就是了 比方說在第一個例子中 f(x) = x => Df(x) = 1 => < 1 , a > = a < 0 => a < 0 意思是說... ** 只要往左走...就會變小 用數學來說就是 ...... f(x+a) < f(x) for some a < 0 在第二個例子中 f(x) = x^2 => Df(x) = 2x => <2x , a > = 2xa < 0 => Case 1: x>0 => a<0 / Case 2: x<0 => a > 0 和我們所認知的拋物線一樣... 在x<0 的地方要往右走才會變小 / x>0 的地方則往左走 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 如果沒有限制式的話...也就是說 x 可以是任何實數的話 極值始終會滿足： ** 沒有任何方向可以讓 f 變小的那種 x 點！！ 也就是說 如果 x* 是極小值的話 會滿足 < Df(x*) , a > = 0 for all (a向量) 所以 可以導出 Df(x*) = (0向量) 因此，如果沒有限制式的話... min x 並沒有極小值... 因為所有的實數 x 都滿足 Df(x) = 1 不過...加上限制式...就有極小值囉......！！！ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 加上限制式後...就會出現 f 在 x* 點...有可以變小的方向 ... 但是受到 g 的影響...所以不能走！！！ 因此...那些點可以走？ 那些點不能走？ ...這就是個有趣的問題了！ 對於那些 g(x) < 0 的點來說，基本上任何能讓 f 變小的方向，都是可以走的！ 因此，只有在 g(x) = 0 時...會對方向造成限制 從上面兩個例子的限制式來看 g(x) = x^2 - 4 邊界點是 x = 2 or -2 計算一下在邊界上的微分 Dg(x) = 2x => Dg(2) = 4 > 0 and Dg(-2) = -4 < 0 不難發現 ....... 在 g(x*) = 0 這種邊界上的點 它可以移動的方向 ... 也只有 <Dg(x*) , d > < 0 的 d 方向 才會保持 g(x*+d) < g(x*) = 0 的限制式 在上面的例子...就是 在 x = 2 時....只能往左移...才會回到 x^2 - 4 < 0 另外一邊是 在 x = -2 時，因為 Dg(-2) = -4 => <Dg(-2) , d > = -4d < 0 => d > 0 只能往右移 從第一個例子( min x s.t. x^2-4<=0 )來看...就可以看得很清楚了 在 x = 2 時，維持 g < 0 的範圍的方向是 "向左" 讓 f 變小的方向也是 "向左" ... 因此 f 有方向可以再繼續變小 但是在 x = -2 的地方，維持 g < 0 的方向是 "向右" 但是讓 f 變小的方向還是 "向左" ... 因此 f 沒有方向可以再繼續變小 也就是達到最小值了！ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 最後...嚴格來說 你的題目應該是： min xy s.t. g1(x,y) = -x <= 0 g2(x,y) = -y <= 0 h1(x,y) = x^2 + y^2 - 8 = 0 或是 min -xy (就是 max xy 的case) s.t. g1(x,y) = -x <= 0 g2(x,y) = -y <= 0 h1(x,y) = x^2 + y^2 - 8 = 0 也就是說 真正的 Lagrange 應該寫成 L1(x,y) = xy + λ1(-x) + λ2(-y) + λ3(x^2 + y^2 - 8 ) L2(x,y) = -xy + λ1(-x) + λ2(-y) + λ3(x^2 + y^2 - 8 ) (因為 x =/= 0 ; y =/=0 所以...... 解的時候要注意： λ1 = 0 ; λ2 = 0 才行！ ... ) 但這樣的話...就會回到原本的 Lagrange L1(x,y) = xy + 0*(-x) + 0*(-y) + λ3(x^2 + y^2 - 8 ) L2(x,y) = -xy + 0*(-x) + 0*(-y) + λ3(x^2 + y^2 - 8 ) 所以...直接用原本的上面兩種 Lagrange 也是 ok 的 ※ 引述《RAINDD (I'm Kenino.)》之銘言： : 原PO你好，你是初學微積分嗎？ : 這題其實不難，甚至也不需要用到Lagrange Multiplier就可以解了。 : 我這麼說吧，個人以為困難的地方在於初學時"正確"而且"完整"建立觀念。 : 個人分享一些當初學習時的心得與經驗， : 不敢講我說得很對，但提出來供你做參考。 : ※ 引述《blak (緯緯)》之銘言： : : 題目:用lagrange求函數f(x,y)=xy受限於x^2+y^2=8,x>0,y>0的所有極值,解釋算出的極值 : : 為最大值或最小值 : : 我算出來(2,2),(-2,-2)題目說x>0,y>0所以(2,2)代入題目=4 : : 請問要如何判斷4為最大或最小值? : 1. 首先，先想想，什麼叫最大值？最小值？極大值？極小值？ : 既然叫"大"、叫"小"，就意味著是經過比較得到的結果。 : 依我看，你困擾的點在於，經過求解方法得到只有一個極值時， : 我怎麼知道它是最大或最小？ : 然而，以這題來看，只有一個極值存在嗎？其實還有，只是你缺視了， : 2. 即使，真的只有一個極值發生時，你又如何得知它是最大、最小值呢？ : 舉個例： y = x^2 - 2x + 3，我們知道 x = 1 時， y 有最小值 2。 : 如何知道的？用配方法呀，一階微分求極值點、二階微分求開口， : 甚至算幾不等式、柯西不等式…等任何可應用的方法， : 都能幫助找maxima,minima,extrema，且看各憑本事。 : 3. 再說Lagrange Multiplier方法，▽f = λ * ▽g， : 聯立求解時，常常不是那麼地在意特徵乘數值 λ 。 : 若你練習的題目做多了，會發現λ值的大小與"+""-"符號， : 似乎能猜知該點是極大值或是極小值。 : 而微積分課本也並不討論λ值與extrema的關連性。 : 於此，我們並不多做討論，有興趣的話不妨自行研究或多找題目練習。 : : 麻煩大家了~謝謝 : : -- : : ◆ From: 118.168.129.208 : : 推 beansop:它的限制條件是在一個半徑為8^(1/2)的圓 114.46.159.6 06/13 15:45 : : → beansop:在第一象限中的區域，所以要討論邊界上 114.46.159.6 06/13 15:45 : : → BaBi:討論邊界上和區域內.... 140.135.26.32 06/13 15:46 : : → beansop:及圓內的極值發生點，所以你分兩個部份 114.46.159.6 06/13 15:46 : : → BaBi:基本上就是求出所有臨界點, 在比較代入後大小 140.135.26.32 06/13 15:47 : : → beansop:然後討論出來的值作比較，就OK了 114.46.159.6 06/13 15:48 : : → BaBi:ㄜ, 插到b大了QQ 140.135.26.32 06/13 15:48 : : → blak:還是不太懂..不知道可以麻煩寫算式? 118.168.129.208 06/13 15:57 : : → blak:請問該怎麼列區域內的算式? 118.168.129.208 06/13 16:16 : : → blak:最大值9,最小值0正確嗎? 118.168.129.208 06/13 16:56 : : → blak:我用Lagrange算答案還是4.... 118.168.139.231 06/13 20:45 : 4. 開始解題： : 依題意，我們先弄清楚目標函數、和限制函數。 : 目標函數： f(x,y) = x*y : 限制函數： x^2 + y^2 = 8、 x > 0 、 y > 0 : {依題意，限制函數為在xy平面上，x^2 + y^2 = 8，且 x > 0 , y > 0 : 為第一象限的四分之一圓弧曲線。 : 注意，題目並非x^2 + y^2 ≦ 8，所以並不包含圓內的區間} : 極值發生的地方：(1)端點 (2)邊界上 {勿忘端點} : (1)端點：(x,y) = (2√2,0) 及 (0,2√2) : (2)邊界上：應用Lagrange Multiplier解得 (x,y) = (2,2)有一極值 : 代入 (2√2,0)、(0,2√2)、(2,2)求f(x,y)並比較大小， : 得知最大值為 f(2,2) = 2*2 = 4 : 最小值為 f(2√2,0) = f(0,2√2) = 0 : 於此，作答即完成。 : 若你不放心 4 是否為最大值，就將限制函數x^2 + y^2 = 8參數化再 : 用單變數函數求極值的方法解看看。 : 若你能將題目轉化成解析幾何的意義進一步瞭解此題那又更好。 : 5. 補充： : 若限制函數為：x^2 + y^2 ≦ 8、x>0、y>0 : 極值發生的地方：(1)端點 (2)邊界上 (3)區間內 : (1)端點有三：(x,y) = (2√2,0)、(0,2√2)、(0,0) : (2)邊界有三：y=0時，0≦x≦2√2、 : x=0時，0≦y≦2√2、 : x^2 + y^2 = 8。 : (3)區間內：解 df/dx = 0 : df/dy = 0 之聯立方程式。 : 詳細的解答內容，就留給你自己發揮囉。 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.74.126.44 ※ 編輯: Cayley 來自: 203.74.126.44 (06/25 22:39) ※ 編輯: Cayley 來自: 203.74.126.44 (06/25 23:42) ※ 編輯: Cayley 來自: 116.59.246.58 (06/26 08:08)