作者suhorng ( )
看板trans_math
標題Re: [單變] 級數跟瑕積分
時間Wed May 30 18:43:37 2012
※ 引述《sheepyPie (小羊派)》之銘言：
: 1. 84成大
: 1 ln(x)
: S --------- dx
: 0 (1-x^2)
當 x→1 的時候 ln(x)/(1 - x^2) → -1/2
當 0 < x < 1/2 的時候 1 - x^2 > 3/4 => 4/3 ln(x) < ln(x)/(1 - x^2) < 0
1/2 1/2
因為 ∫ln(x)dx 收斂, 因此∫ln(x)/(1 - x^2) dx 收斂. 綜合以上, 原積分收斂.
0 0
接下來我們要用到
1 1 1 1 ln(1 - x) 1 ln(t)
∫∫-------- dy dx = π^2/6 = －∫-----------dx = －∫------- dt
0 0 1 - xy 0 x 0 1 - t
對左邊的重積分用 x = u+v, y = u-v 的變數變換可以算出來; 或是展開為Σ1/n^2.
現在
1 ln(x) 1 1 ln(x) 1 ln(x)
∫---------dx = ---(∫-------dx + ∫-------dx)
0 1 - x^2 2 0 1 - x 0 1 + x
|1 1 1 ln(1 + x)
= π^2/6 ． (-1/2) + lim ln(x)ln(1 + x)| - ---∫-----------dx
t→0 |t 2 0 x
1 1 ln(1 - x) 1 ln(1 - x^2)
= π^2/6 ． (-1/2) + ---(∫-----------dx - ∫-------------dx )
2 0 x 0 x
1 1 1 ln(1 - x^2)
= π^2/6 ． (-1/2 - 1/2) - ---．---∫-------------dx^2
2 2 0 x^2
= π^2/6 ． (-1/2 + -1/2 + 1/4)
= -π^2/8
ln(1+t)
( lim ln(t)ln(1 + t) = [ lim t*ln(t) ] * [ lim --------- ] = 0 * 1 = 0 )
t→0 t→0 t→0 t
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◆ From: 61.217.33.159
1F：推 smhead:請問倒數第3個等式是不是多一個1/2 111.248.155.49 05/30 23:18
2F：→ smhead:我答案算-pi^2/24 不知道哪裡出錯 111.248.155.49 05/30 23:19
3F：推 smhead:沒事 抱歉看錯惹 111.248.155.49 05/30 23:22
4F：推 smhead:推一個，相當強悍。 111.248.155.49 05/30 23:31
漏打了個括號
其實是先用軟體得知答案才去猜算法...
※ 編輯: suhorng 來自: 61.217.34.17 (05/31 08:31)