作者suhorng ( )
看板trans_math
標題Re: [積分] Integrate ln(a + bcosx)
時間Sat May 19 00:00:07 2012
用網頁中的提示做下去(但他有打錯)
When a > b ≧0
π
∫ln(a+bcos(x))dx
0
πb cos(x)
= ∫∫-------------- dy dx + πln(a)
0 0 a + y cos(x)
b π 1 a
= ∫∫ ---(1 - --------------) dx dy + πln(a)
0 0 y a + y cos(x)
b 1 a
= π∫(--- - ----------------) dy + πln(a)
0 y y√(a^2 - y^2)
_________
= πln(a + √a^2 - b^2) - πln(2a) + πln(a)
_________
a + √a^2 - b^2
= πln-----------------
2
當 a = b > 0 時, 是瑕積分, 且收斂
π π
∫ln(a + a cos(x))dx = ∫ln(1 + cos(x))dx + πln(a)
0 0
π
= ∫(ln(2) + 2ln(cos(x/2)))dx + πln(a)
0
= πln(2) + 4*(-π/2 ln(2)) + πln(a)
= πln(a/2), 與 a > b 的情形同
※ 引述《WeiFanL (WeiFan)》之銘言：
: from 0 to pi
: http://mathhelpforum.com/calculus/42157-integrate-ln-b-cosx.html
: 如網址：
: 基本上是用虛擬代數積分法
: 阿陸仔則是參數代換積分
: 我算出來都沒有在In裡面除2
: 有人知道證明嗎?
: 補：
: 王博第六章 精選第10題的5小題
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.217.34.135
1F：推 WeiFanL:太棒了 1.168.123.182 05/19 23:25
2F：推 WeiFanL:我是先設原積分為F(y) 對y微分並求F'解 1.168.123.182 05/19 23:42
3F：→ WeiFanL:在積分F'便得解，起點不同但解題技巧一模 1.168.123.182 05/19 23:42
4F：→ WeiFanL:一樣 1.168.123.182 05/19 23:43
5F：→ BaBi:我的做法和樓上一樣@@" 218.163.88.185 05/19 23:44
6F：→ suhorng:我也覺得是一樣的做法 只不過求常數在我這 61.217.34.135 05/20 18:26
7F：→ suhorng:邊變成了內層積分的下界XD 61.217.34.135 05/20 18:26
※ 編輯: suhorng 來自: 61.217.34.135 (05/20 19:24)