※ 引述《yoyooyooo (yoyoyoo)》之銘言： : http://miupix.cc/pm-AVO7VR : 如圖 : 最近被判斷斂散性搞的頭快昏了 : 這題我用ratio test做不出來.. ratio test: n＋1 [㏑(n＋1)] ───── (n＋1)! ㏑(n＋1) n lim ────── ＝ lim ───── [log (n＋1)] ＝ 0 ＜ 1 , 收斂 n→∞ [㏑(n)]^n n→∞ n＋1 n ───── ^^^^^^^^^^^^^ n! ／ ↙ n 1 n lim [log (n＋1)] ≦ lim (1＋─) ＝ e n→∞ n n→∞ n ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ／ ↙ 1 n 1 1/n 1 1/n 1＋1/n (1＋─) ＜ n ＝>　1＋─ ＜ n ＝> n＋1＝n(1＋─) ＜ n*n ＝ n n n n 1 ＝> log (n＋1) ＜ 1＋─ n n or 1 1 因 1＋─ ↗ e , n ㏑(1＋─) ＜ 1 n n n ( ㏑(n＋1)－㏑n ) ＜ 1 ＜ ㏑n n㏑(n＋1)＜(n＋1)㏑n n＋1 1 ＝> log (n＋1) ＜ ─── ＝ 1＋─ n n n root test: ㏑n ㏑n ㏑n (1＋...＋1/n) lim ───── ≦ lim ─────── ＝ lim ────────── n→∞ (n!)^(1/n) n→∞ n n→∞ n ────── 1＋...＋1/n 幾何平均大於調和平均 ㏑n (㏑n＋1) ≦ lim ─────── ＝ 0 ＜1 n→∞ n n 1 Σ ≒ ㏑n＋γ＋ε ≒ ㏑n ＋ 0.577... ＋ ── ＜ ㏑n ＋ 1 k=1 n 2n 或是在 1/x 的積分 1到n的範圍下面接方格 便可得到 1/2＋...＋1/n ＜ ㏑n comparison test: 懶得打 n n (㏑n) (㏑n) lim ───── ＝ lim ─── ≦ lim ───────── n→∞ 1 n→∞ (n-2)! n→∞ n-2 n-2 ──── (────── ) n(n-2) 1+...+1/(n-2) 2 ㏑n(㏑(n-2)＋1) n-2 ≦ lim (㏑n) (───────── ) n→∞ n－2 2 2 (㏑n) [㏑n(㏑(n-2)＋1)] ㏑n(㏑(n-2)＋1) n-4 ＝ lim ─── ───────── [───────── ] ＝ 0 ＜ 1 n→∞ n-2 n-2 n-4 1 Σ ─── 收斂故原級數收斂 n(n-1) --

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