※ 引述《a1978517 (AlanX)》之銘言： : http://www.lib.pccu.edu.tw/exam/U/U-8-5/982微積分.pdf : 第二大題 想請問 2 3 4 題 答案 : 謝謝 : 越來越沒信心了= =" 我打第2部分賺一下P幣 2. 1. ∫ x lnx dx 分部積分 ∫udv=uv -∫vdu 令u=ln x ==>du=1/x dx dv= xdx ==> v=x^2/2 u*v=(ln x)*(x^2/2)= (x^2)(ln x) /2 , ∫vdu =∫(x^2/2)*(1/x) dx =∫x/2 dx =x^2/4 ∫ x lnx dx =uv -∫vdu = (x^2)(ln x) /2-x^2/4 +C ^^^^^^ 不定積分常數要加 e^(√x) 2. ∫------- dx √x 令u^2 = x , dx=2u du u=√x e^u ∫ ------- 2u du = 2∫e^u du = 2e^u +C =2e^√x +C u ^^ 記得要換回X 1 3. ∫x*√(9-x^2) dx 0 先算他的不定積分 在帶值 因為這題用變數代替上下值會很難算 √.....一般會用三角函數或....=k^2 看哪個好算 ∫x*√(9-x^2) dx 令x=3sinu dx=3cosu du √(9-x^2) =√(9(1-(sinu)^2)) =3cosu ^^^^^^^^^ (cosu)^2 ∫x*√(9-x^2) dx = ∫ 3sinu *3cosu *3cosu du =27 ∫ sinu * (cosu)^2 du 令k=cosu dk = -sinu du , du =-dx/sinu =27 ∫-k^2 dk =-9k^3 +C = -9 (cosu)^3 +C x=3sinu ==> sin u = x/3 √(9-x^2) 3 /| x cosu = --------------- /_| 3 √(9-x^2) (9-x^2) = -9 * ---------- √(9-x^2) +C 27 = √(9-x^2) * [-3+x^2/3] +C 代上限1 下限0 = √8 * (-8/3) - 3*(-3) =9 -16√2/3 4. ∫x(1+x^2)^10 dx 令u=x^2 ==>du =2x dx dx=du/2x ∫x(1+x^2)^10 dx = (1/2) ∫ (1+u)^10 du 令k=(1+u) , dk=du =(1/2) ∫k^10 dk =(1/2)*k^11/11 +C =(1/2)*(1+u)^11 /11 +C =(1/2)*(1+x^2)^11 /11 +C =(1/22) (1+x^2)^11 +C --

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