作者G41271 (茶)
看板trans_math
標題Re: [積分] 二重積分
時間Sat Dec 26 20:02:46 2009
※ 引述《tranquilitys (open)》之銘言：
: 直接積積不出來，用二重積分也積不出來，用極座標依然失敗...
: _____
: 1 √x-x^2
: ∫ ∫ _____ ( x^2 + y^2 ) dydx
: 0 -√x-x^2
: 感謝。
看起來是極座標轉換,不過直接積沒道理積不出來.
1 √x-x^2 1 ｜+√x-x^2
∫ ∫ _____ ( x^2 + y^2 ) dydx = ∫ [ y x^2 + 1/3 y^3 ] ｜ dx
0 -√x-x^2 0 ｜-√x-x^2
1 1
∫ [ 2x^2 √x-x^2 + 2/3 √(x-x^2)^3 ] dx = ∫ 2/3 √x-x^2 [ 2x^2 + x ] dx
0 0
let x = 1/2(1+sinQ) , dx = 1/2 cosQ dQ , then √x-x^2 = 1/2 cosQ ,
1 pi/2
∫ 2/3 √x-x^2 [ 2x^2 + x ] dx = 2/3∫ 1/2 cosQ 1/2(1+sinQ)(2+sinQ) 1/2cosQdQ
0 -pi/2
pi/2
= 1/12∫(cosQ)^2 [(sinQ)^2 + 3sinQ + 2] dQ ,中間那項3sinQ是奇函數,積分值為零.
-pi/2
pi/2
= 1/6 ∫(cosQ)^2 [(sinQ)^2 + 2] dQ , 到這已經可以用beta function解決了,
0
不過假設你不會,還是慢慢來吧
pi/2 pi/2
= 1/6 ∫(cosQ)^2 [(sinQ)^2 + 2] dQ = 1/6 ∫1/4(sin2Q)^2 + (1+cos2Q) dQ
0 0
pi/2 pi/2
= 1/6 ∫1/8 (1-cos4Q) + (1+cos2Q) dQ = 1/6 [9Q/8 -1/32 sin4Q +1/2 sin2Q ]
0 0
= 1/6 *9/8 *pi/2 = 3/32 pi
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◆ From: 220.141.193.169
※ 編輯: G41271 來自: 220.141.193.169 (12/26 20:09)
1F：推 tranquilitys:先謝過 我先抄起來研究一下..218.167.106.112 12/26 20:17
2F：→ tranquilitys:感謝!!218.167.106.112 12/26 21:01