作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板trans_math
標題Re: [積分] 定積分
時間Thu Oct 8 18:39:30 2009
※ 引述《GSXSP (Gloria)》之銘言：
: π
: ∫ cos(2x) exp(cos(x) - 1) dx
: 0
: 想問這個定積分怎麼算 謝謝
---
首先考慮積分:
2π cosx
S = ∫ cos(2x) e dx
0
z^2 + 1/z^2 z+ 1/z dz
= ∮ ___________ exp[ ______ ] ____ for C: |z|=1
C 2 2 iz
z^4 + 1 z+ 1/z
= ∮ _______ exp[ ______ ] dz
C 2i*z^3 2
= πc_(-1)
其中 c_(-1) 是 Laurent series 展開後 z^(-1) 項的係數:
(z/2)^2 (z/2)^3 1 1
(z + 1/z^3)*[1 + z/2 + _______ + _______ + ...][1 + __ + _________ + ...]
2! 3! 2z 2!*(2z)^2
∞ 1 1
所以 c_(-1) = 2 * Σ ______ * ______________
k=0 k!*2^k (k+2)!*2^(k+2)
---
∞ x^(k+2)
若假設 f(x) = Σ _________
k=0 k!*(k+2)!
∞ x^(k+1)
→ f'(x) = Σ _________
k=0 k!*(k+1)!
f'(x) ∞ x^k
→ _____ = Σ _________
x k=0 k!*(k+1)!
xf''(x) - f'(x) ∞ x^(k-1)
→ _______________ = Σ _____________
x^2 k=1 (k-1)!*(k+1)!
f(x)
= ____
x^2
→ xf'' - f' - f = 0 with f(0)=0 and f'(0)=0
(取 Laplace Transform F(s) =L{f(x)} )
→ -d{s^2*F}/ds - sF - F = 0
→ s^2(dF/ds) + F(3s+1) = 0
→ -1/F dF = [3/s + 1/s^2] ds
→ -ln|C2*F| = 3ln|s| -1/s
→ C2*F = e^(1/s) / s^3
剩下不會轉回去了 XD
S = πc_(-1) = 8πf(1/4)
原定積分 = S/2e = 4πf(1/4)/e
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◆ From: 140.113.141.151
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (10/08 18:41)
1F：推 GSXSP:f'(x) 的第二個等號似乎不太對140.113.211.193 10/08 19:44
沒拆過階乘的級數 ＝＝a
應該可以用啥 Bessel 或是其它冪級數來表示
只是我沒有背那些東西
等等在解看看那個 ODE 算出來是啥
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (10/08 20:26)
2F：推 ntust661:腹便後QQ了 140.118.234.83 10/08 21:32
3F：推 GSXSP:你對級數的處理還真厲害耶XD 還可以變ODE140.113.211.193 10/08 23:28
4F：→ doom8199:那是因為我沒在背特殊函數 QQ140.113.141.151 10/08 23:41
5F：→ doom8199:只能靠微積分or微方去推XD140.113.141.151 10/08 23:41