※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言： : a/2 a/2 : ∫ ∫ (x^2+y^2+d^2)^(-3/2)dxdy : -a/2 -a/2 : a.d都是常數 請問要怎麼積 我只想到三角代換 : 可是又做不出來@@ 就兩個公式而已 du u ∫ ------------------- = ------------------ + constant (u^2 + A^2)^(3/2) A^2 √(u^2 + A^2) du 1 B u ∫---------------------------------- = ----- arctan (----------------------) (u^2 + A^2) √(u^2 + A^2 + B^2) A B A √(u^2 + A^2 + B^2) + constant 所以 a/2 a/2 dx dy ∫ ∫ ------------------------- -a/2 -a/2 (x^2 + y^2 + d^2)^(3/2) a/2 x x = a/2 = ∫ dy [----------------------------------- ] -a/2 (y^2 + d^2) √(x^2 + y^2 + d^2) x = -a/2 a/2 dy = a ∫ ------------------------------------ -a/2 (y^2+d^2) √(y^2 + d^2 + a^2/4 ) 1 (a/2) y y = a/2 = a [ --------- arctan ( --------------------------- ) ] (a/2) d d √(y^2 + d^2 + a^2/4 ) y = -a/2 4 a^2 = ---- arctan ( ------------------------ ) d 2d √( 4d^2 + 2a^2 ) ----- Frobenius大算出來的答案 4 -1 4 2d √(2a^2+4d^2) = - cot ( 2d √ [ 2 + (2d/a)^2 ] /a ) = --- arccot (-------------------) d d a^2 和我的答案是一致的( arccotu = arctan(1/u) ,自己畫三角形就可以了解了.) . ----- 而你說解答是用 arcsin來寫 , 我推測是 4 a^2 --- arcsin (-------------) . (少了根號的確比較漂亮) d a^2 + 4d^2 A 因為 arctan( A/B ) = arcsin(----------------) (一樣,畫三角形就可了解.) , √(A^2 + B^2) 所以等同於我們的答案. ----- 有限正方形電板正上方距離d的點P的電場是 ^ σ a/2 a/2 d dx dy z -------- ∫ ∫ ------------------------- 4πε -a/2 -a/2 (x^2 + y^2 + d^2)^(3/2) ^ σ d 4 a^2 ^ σ a^2 = z -------- --- arcsin (-------------) = z ---- arcsin (-------------) 4πε d a^2 + 4d^2 πε a^2 + 4d^2 σ arcsin ( a^2/(a^2 + 4d^2) ) ^ = ---- ----------------------------- z ε π σ ^ 當a→∞時 (無限大電板) , 電場 = ---- z 2ε --

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