※ 引述《bard3 (吟遊詩人)》之銘言： : Show that x^3+7x+1 =0 has exactly one solution : in the interval [-4,1] [證明] 3 設 f(x) = x + 7x +1 , domf= R (一) 存在性:f在[-4,1]連續 --(1) 3 f(-4) = (-4) + 7(-4) + 1 = -64 -28 + 1 = -91 < 0 --(2) 3 f(1) = 1 + 7(1) + 1 = 1 + 7 + 1 = 9 > 0 --(3) 由 (1),(2),(3) 及連續函數的中間值定理,可知 存在 c 屬於 [-4,1] such that f(c) = 0 3 即 f(x) = x + 7x + 1 在 [-4,1]間,至少有一根 3 (二) 唯一性:f(x) = x + 7x +1 ,domf = R 2 f'(x) = 3x + 7 > 0 for all x屬於(-∞,∞) 所以 f在 R上 嚴格遞增 所以 f為 one to one on R 故 f在 [-4,1] 亦為 one to one 即 f在 [-4,1]之間的根為方程式唯一的根 綜合(一),(二),可知 f在 [-4,1] 之間恰有一根 Q.E.D. -- http://www.wretch.cc/album/show.php?i=arbitrager&b=10&f=1497117351&p=0 射手學妹一號(手繪版) --

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