作者Honor1984 (希望願望成真)
看板trans_math
標題Re: [極限] Larson 兩題
時間Sat Oct 25 03:20:47 2008
※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
: Larson Limit
^^^^^
有板友知道其他和limit或者無關limit的做法嗎?
因為我不知道這兩題跟limit有什麼關係
: 113. Prove or disprove : if x and y are real numbers with y≧0
: and y(y+1)≦(x+1)^2 , then y(y-1)≦x^2
對任一 x = k
對應一些y滿足y≧0 且 y(y+1)≦(k+1)^2
y(y+1)≦(k+1)^2 => y_1≧y≧0
y_1 為 y(y+1) = (k+1)^2 大於0的根
對應一些y滿足y≧0 且 y(y-1)≦k^2
y(y-1)≦k^2 => y_2≧y≧0
y_2 為 y(y-1) = k^2 大於0的根
y_1 < y_2
所以對於滿足兩條件的(k.y), y_1≧y≧0
必然也滿足y(y-1)≦x^2
: 114. Determine all polynomials P(x) such that P(x^2+1) = (P(x))^2 + 1
: and P(0)=0
設P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_0 , n有限
P(0) = 0 => a_0 = 0
P(x^2+1) = (P(x))^2 + 1 => a_n = 1 且 P(x) 非偶即奇
F(x) = x可以滿足兩條件
設 P(x) 還有不同的多項式滿足兩條件 且 =/= F(x)
令 Q(x) = P(x) - x
P(0) = 0
P(1) = 1
P(2) = 2
P(5) = 5
依此類推有無限多x_k值使得 Q(x_k) = 0
然而多項式P(x)至多n個根
所以矛盾
=> P(x) = x
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