※ 引述《rainphiz ( )》之銘言： : 請教板上高手，這兩題該怎麼下手？毫無頭緒 @.@ : 3. Find the solution to dy/dx = 2xy(y^2 + 1) that satisfies y(0) = 1. : ∞ : 6. The usual way to evaluate the improper integral I = ∫ e^(-(x^2)) dx : 0 : ∞∞ : is first to calculate its square I^2 = ∫∫ e^(-(x^2 + y^2)) dxdy. : 0 0 : Evaluate the integral and solve the resulting equation for I. 令 x = (r)(cosθ) , y = (r)(sinθ) , 則 |J| = r 0 ≦ r ≦ ∞ , 0 ≦ θ ≦ π/2 ∞ ∞ I^2 = ∫ ∫ e^(-(x^2 + y^2)) dxdy 0 0 ∞ π/2 = ∫ ∫ (e^(-r^2))(r) dθdr 0 0 ∞ |θ = π/2 = ∫ (e^(-r^2))(r)(θ) | dr 0 |θ = 0 ∞ π = ∫ (---)(r)(e^(-r^2)) dr 0 2 R π = lim ∫ (---)(r)(e^(-r^2)) dr R→∞ 0 2 -π |R = lim (----)(e^(-r^2)) | R→∞ 4 |0 π π π = --- - lim (---)(e^(-R^2)) = --- 4 R→∞ 4 4 ∞ √π I = ∫ e^(-x^2) dx = ----- 0 2 : == : 另外想請教曾經去考過師大的板友，微積分這一科要寫計算過程嗎？ : 因為我看題目卷上只有寫： : 1. 依次序作答，只要標明題號，不必抄題。 : 2. 答案必須寫在答案卷上，否則不予計分。 --

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