※ 引述《wo0228 (天碎之牙)》之銘言： : 關於http://www.lib.nccu.edu.tw/exam/transfer/econo/index.htm : 政大經濟系的微積分考古題!!由於題目有點多~先感謝大家了!! : 96年的第六題和第八題 : 95年的第二題和第三題 : 94年的第二題和第五題和第七題 : 93年的第三題和第五題和第九題 : 拜託和麻煩大家拉!!>"< 94年第5題 解:先求 ((y_1)(y_2)...(y_n))^2 的最大值 n 受限於Σ (y_i)^2 = 1 i=1 令 f(y_1 , y_2 , ... , y_n) = ((y_1)(y_2)...(y_n))^2 n g(y_1 , y_2 , ... , y_n) = Σ (y_i)^2 - 1 i=1 F(y_1 , y_2 , ... , y_n) = f(y_1 ,...,y_n) + (λ)(g(y_1,...,y_n)) n = ((y_1)(y_2)...(y_n))^2 + (λ)(Σ (y_i)^2 - 1) i=1 Fy_1 = (2)((y_1)...(y_n))((y_2)...(y_n)) + 2λy_1 = 0 ------(1) . . . . . . Fy_n = (2)((y_1)...(y_n))((y_1)...(y_(n-1))) + 2λy_(n-1) = 0 ------(n) (1)*(y_1) + ... +(n)*(y_n)得 n n(((y_1)...(y_n))^2) + (λ)(Σ (y_i)^2) = 0 i=1 λ = -n(((y_1)...(y_n))^2)代回(1)得 ((y_1)...(y_n))((y_2)...(y_n)) - (n)(y_1)(((y_1)...(y_n))^2) = 0 1 1 ----- - (n)(y_1) = 0 => 1 - (n)((y_1)^2) = 0 => (y_1)^2 = --- y_1 n 1 同理 (y_i)^2 = --- , i = 1 , 2 , ... , n n 1 因此 ((y_1)...(y_n))^2 的最大值為 ----- n^n 1 ((y_1)...(y_n))^2 ≦ ----- n^n (x_i)^(1/2) n 令 y_i = ---------------- , 則 Σ (y_i)^2 = 1 n i=1 (Σ x_i)^(1/2) i=1 1 ((y_1)...(y_n))^2 ≦ ----- n^n (((x_1)^(1/2))...((x_n)^(1/2)) 1 (------------------------------)^2 ≦ ----- n n^n (Σ x_i)^(n/2) i=1 (x_1)...(x_n) 1 ------------- ≦ ----- n n^n (Σ x_i)^n i=1 ((x_1)...(x_n))^(1/n) 1 ----------------------- ≦ --- n n Σ x_i i=1 1 n (---)(Σ x_i) ≧ ((x_1)...(x_n))^(1/n) n i=1 --

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